Определение точки разрыва

Определение

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1 функция определена в точке и ее окрестности;

2 существует конечный предел функции в точке ;

3 это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

 

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Пусть заданы две функции и , непрерывные на некотором множестве . Сумма, произведение и частное (при условии, что ) является также непрерывной функцией на рассматриваемом множестве.

Пусть функция задана на множестве , а - множество значений этой функции. Пусть на множестве задана функция , которая называется композицией функций (или сложной функцией) .

Теорема

Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция этих функций непрерывна в точке .

Теорема

Если функция является непрерывной и строго монотонной на отрезке , которые лежит на оси абсцисс, то и обратная функция также непрерывна и монотонна на некотором отрезке оси ординат.

Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

9. Производные основных элементарных функций (вывод).

 

10. Теорема о производной сложной функции.

 

11. Теорема о производной обратной функции.

 

12. Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.

 

13. Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.

 

14. Формула Тейлора.

 

15. Теорема (правило) Лопиталя.

 

16. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

 

17. Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.

 

18. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

 

19. Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).

 

20. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.

 

21. Построение вертикальных и наклонных асимптот к графику функции.