Расчет электрических цепей с несинусоидальными периодическими источниками питания

Расчёт линейных электрических цепей с несинусоидальными периодическими источниками питания распадается на три этапа:

а) разложение несинусоидальных периодических функций (эдс и токов источников тока) в тригонометрический ряд Фурье: где А₀ – постоянная составляющая или нулевая гармоника; - основная или первая гармоника; при k>1- высшие гармоники; - основная угловая частота; Т- период несинусоидальной периодической функции.

б) Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для каждой из гармонических составляющих в отдельности. При расчете цепи для каждой синусоидальной составляющей можно пользоваться комплексным методом, но недопустимо сложение комплексных токов и напряжений различных синусоидальных составляющих. Индуктивное и емкостное сопротивления для k-й гармоники равны:

, .(7.1.1)

в) Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из гармонических составляющих.

Задача 7.1 Электрическая цепь (рисунок 7.1.1) подключена к источнику несинусоидальной периодической эдс (рисунок 7.1.2). Максимальное значение эдс , основная частота эдс f = 1000 Гц. Параметры цепи: Ом, Ом, мГн, мГн, мГн, мкФ. Требуется: а) определить гармонический состав несинусоидальной периодической эдс;б) найти мгновенные значения несинусоидальных токов во всех ветвях цепи; в) рассчитать действующие значения эдс и токов во всех ветвях цепи;г) определить активную, реактивную, полную мощности и мощность искажения; д) построить график мгновенного значения тока ;

ж) построить амплитудно-частотный и фазочастотный спектры тока .

Рисунок 7.1.1 Рисунок 7.1.2

Решение. Разложим несинусоидальную эдс (рисунок 7.1.2) в ряд Фурье, ограничимся первыми тремя гармоническими составляющими:

(7.1.2)

Подставим в выражение (7.1.1) числовые значения, получим:

(7.1.3)

Расчет постоянных составляющих токов.

Постоянная составляющая эдс: . Для постоянной составляющей тока индуктивное сопротивление равно 0 и индуктивность в эквивалентной схеме заменяется короткозамкнутым участком, а ёмкостное равно и ветвь с ёмкостью размыкается (рисунок 7.1.1).

Рисунок 7.1.1 Рисунок 7.1.2 Рисунок 7.1.3

Постоянные составляющие токов равны:

(7.1.4)

Расчет токов первой гармоники.

Первая гармоника эдс: ,

комплексное эдс: (7.1.5)

Эквивалентная схема для расчета токов первой гармоники представлена на рисунке 7.1.2. Индуктивные и емкостные сопротивления для токов первой гармоники: Ом,

Ом,

Ом,

Ом.

Комплексные сопротивления для токов первой гармоники равны:

Ом, Ом,

Ом,

(7.1.6)

Определим комплексные токи первой гармоники, используя закон Ома и формулы разброса:

(7.1.7)

(7.1.8)

(7.1.9)

Мгновенные значения токов первой гармоники записываются в виде: (7.1.10)

Расчет токов второй гармоники.

Вторая гармоника эдс: ,

комплексное эдс равно:

Эквивалентная схема для расчета токов второй гармоники представлена на рисунке 7.1.3. Индуктивные и емкостные сопротивления для токов второй гармоники: Ом,

Ом, Ом,

Ом.

Комплексные сопротивления для токов второй гармоники равны:

Ом, Ом,

Ом,

(7.1.11)

Определим комплексные токи второй гармоники, используя закон Ома и формулы разброса:

(7.1.12)

(7.1.13)

( 7.1.14)

Мгновенные значения токов второй гармоники записываются в виде:

(7.1.15)

Мгновенные значения токов в ветвях электрической цепи равны:

(7.1.16)