Б. Пример обработки результатов прямых многократных измерений

Найти диаметр шарика и соответствующую погрешность.

1. Пусть измерения диаметра шарика микрометром дали следующие результаты:

, , , , , причем инструментальная погрешность микрометра .

2. Среднеарифметическое из всех т.е.

.

3. Тогда дает , , , , и

.

4.Заметим, что . Поэтому является грубой погрешностью. Следовательно, замер ошибочен, и мы исключаем из дальнейших расчетов и , и . Поэтому .

5.Снова определяем , а также , , , .

6. Находим их квадраты ;

; .

7. Рассчитываем

.

8. Задаемся значением доверительной вероятности и

9. для находим (см. таблицу на с.20).

10. Получаем .

11. В нашем случае . Поэтому полная погрешность

.

3.12. Окончательный результат:

; ; ; .

Цифры в третьем десятичном разряде после запятой округляется, так как инструментальная погрешность равна 0,01 мм, т.е. соответствует единице 2 десятичного разряда.

8. Обработка результатов косвенных измерений

Пусть косвенно определяемая величина рассчитана по формуле, выражаемой функцией

, (16)

причем результаты прямых многократных измерений величин уже известны, грубые погрешности исключены и рассчитаны величины , , , , , ,..., где , , – полные абсолютные погрешности прямых многократных измерений величин , , ,..., рассчитанных в соответствии с п.п. З–10 (см. стр.14) включительно. В качестве наилучшего приближения к истинному значению принимают

. (17)

Случайные погрешности косвенно определяемой величины рассчитывают методом частных дифференциалов или методом дифференциала логарифма.

А. Метод частных дифференциалов

Частными производными функции нескольких переменных (в нашем случае ) по одной из них называют выражения;

а) при , и т.д.;

б) при , и т.д.;

в) при , и т.д.

Частную производную находят по правилам дифференцирования функций одной переменной, причем остальные переменные, кроме той, по которой берут частную производную, рассматриваются как постоянные. В случае а) роль переменной играет "а", а роль постоянных - "в","с" и т.д.

Частный дифференциал определяют равенством:

и т.д.

Итак, частные дифференциалы функции имеют вид:

при ,

при ,

при ,

В соответствии с этим за абсолютные погрешности принимают приращения , , ,...

, , , (18)

где - абсолютная погрешность косвенно определяемой величина, обусловленная погрешностью только величины "а", - абсолютная погрешность косвенно определяемой величины, обусловленная погрешностью только величины "в" и т.д.

Таким образом, полная абсолютная погрешность результата косвенных измерений должна быть рассчитана по формуле:

. (19)