Тема 2.1 Основы комбинаторики

Генеральная совокупность - множество элементов, из которых выбирают элементов ( ). Число называют объёмом генеральной совокупности, выбранные элементы – выборкой, число – объёмом выборки.

Перестановки без повторений из элементов – это выборки без повторений, объём которых равен объёму генеральной совокупности ( ).Число перестановок из элементов без повторений обозначают . Чтобы найти , не выписывая перестановки, используют формулу

,

читается « - факториал».

Размещения без повторений из элементов по – это выборки без повторений, объём которых меньше объёма генеральной совокупности ( ), порядок элементов в выборке по условию задачи играет роль. Число размещений из элементов по без повторений обозначают .Чтобы найти , не выписывая размещения, используют формулу

Сочетания без повторений из элементов по – это выборки без повторений, объём которых меньше объёма генеральной совокупности ( ), порядок элементов в выборке по условию задачи не играет роли. Число сочетаний из элементов по без повторений обозначают . Чтобы найти , не выписывая сочетания, используют формулу

Задача 1.. Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из группы в 20 человек?

РЕШЕНИЕ. Так как для данной задачи несущественен порядок выбора, то воспользуемся формулой комбинаторики для сочетания из 20 по 3:

ОТВЕТ: Трех дежурных из группы в 20 человек можно выбрать 1140 способами.

. Задача2.. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 дисциплин.

РЕШЕНИЕ. Количество различных расписаний можно определить с помощью формулы комбинаторики для размещения по 5 из 11 элементов. Выбор размещения определяется тем, что при построении расписания необходимо учитывать порядок следования уроков.

ОТВЕТ: При данных условиях можно составить 55440 различных расписаний.

Задача 3. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые начинаются цифрой 3?

РЕШЕНИЕ

1) Поставим цифру 3 на первое место и зафиксируем ее. А остальные четыре цифры будем переставлять для получения различных чисел. Таким образом, количество чисел будет определяться количеством перестановок среди чисел 1, 2, 4, 5. Чтобы его найти, воспользуемся формулой комбинаторики:

N = n! ,
где N – количество вариантов перестановок,
n – количество цифр.

N = 4! = 24.
ОТВЕТ: Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить 24 пятизначных числа без повторения цифр, которые начинаются цифрой 3?

Раздел 3 Вероятность случайного события