Типы уравнений и способы их решения

 

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной (число).

I тип:

(8)

где c Î R.

ОДЗ:

На указанной ОДЗ уравнение (8) решается по определению логарифма:

.

II тип:

(9)

ОДЗ:

На основании равенства логарифмов, уравнение (9) сводится к равносильному ему (на указанной ОДЗ) уравнению:

.

(10)

ОДЗ:

Данное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений:

III тип:уравнения, решаемые заменой переменной

, (11)

где F – некоторое выражение относительно .

Необходимо определить ОДЗ уравнения, учитывая все условия существования логарифма и выражения F.

Далее заменяют и решают уравнение .

Если – корни последнего уравнения, то, после возвращения к старой переменной, необходимо решить совокупность

Полученные корни проверяют по ОДЗ.

Замечание. Если вместо какого-либо выражения f(x), g(x), h(x) уравнения (8) – (11) содержат число, то соответствующее условие не записывают в ОДЗ.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Находим ОДЗ:

Решение системы:

Преобразуем уравнение к виду

.

Получили уравнение I типа, которое решается по определению логарифма:

, , откуда .

Из полученных значений корень не подходит по ОДЗ.

Получаем ответ: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:

Заданное уравнение относится к I типу. Получаем

, .

Снова используем определение логарифма

, т.е. откуда .

Полученные корни проверяем подстановкой в условия, определяющие ОДЗ уравнения. Убеждаемся, что корень подходит, а корень не подходит по ОДЗ.

Получаем ответ: .

Пример 3. Решить уравнение

.

Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ:

Данное уравнение относится ко II типу, т.е. решается по свойству равенства логарифмов. Получаем

т.е. .

Раскладываем левую часть на множители:

, откуда получаем

Подставляем найденные значения в ОДЗ, находим, что уравнение имеет только один корень .

В ответе имеем: .

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Находим ОДЗ:

т.е. .

Данное уравнение относится ко II типу. Решаем совокупность:

По ОДЗ подходит только корень , т.к. .

Получаем ответ: .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: . Преобразуем уравнение:

Имеем квадратное уравнение относительно (уравнение III типа). Заменяем :

.

Решая полученное квадратное уравнение, находим корни . Возвращаемся к переменной x:

Оба корня подходят по ОДЗ, получаем ответ: .

Пример 6.Решить уравнение

.

Решение. Запишем условия ОДЗ:

Воспользуемся тем, что

. Тогда

Решаем полученное уравнение как уравнение I типа:

Среди целых делителей свободного члена находим корень . Он подходит по ОДЗ.

Пришли к ответу: .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: , т.е. .

Воспользуемся свойствами модуля: , если , и . Тогда уравнение перепишется в виде

Заменяем и приходим к квадратному уравнению

,

корнями которого являются числа .

Возвращаемся к старой переменной:

Раскрываем модуль, используя ОДЗ:

Получаем ответ:

Пример 8. Решить уравнение

.

Решение. ОДЗ: , т.е. .

Рассмотрим левую часть уравнения:

Преобразуем правую часть. Получим

.

Используя функциональный метод решения, заключаем, что решением исходного уравнения является решение системы

т.е. .

Получаем ответ: .

Пример 9. Найти сумму корней уравнения .

Решение. Для данного уравнения характерно следующее: если корень уравнения, то и тоже корень уравнения. Поэтому если уравнение имеет корни, то их сумма будет равна нулю. Подстановкой находим корни .

Получаем ответ: 0.

 

Задания

 

I уровень

1.1. Решите уравнение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ; 9. ;

10) .

 

II уровень

2.1. Решите уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) .

III уровень

3.1. Решите уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .