Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону:

При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

(1)
С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как

Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение

(2)
При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение
(3)
Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как

Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению

(4)
Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

(5)

причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x₀ если механические колебания равно F₀/m, в случае электромагнитных колебаний - U_m/L).

Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х₀e^iωt :

(6)

Частное решение данного уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных ( и ) в выражение (6), найдем

(7)

Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на (ω₀² - ω² - 2iδω)

Это комплексное число представим в экспоненциальной форме:

где

(8)

(9)

Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид

Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна

(10)

где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9).

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно

(11)

Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения

(12)

и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω .

Рис.1

Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω₀² = 1/(LC) и δ = R/(2L) :

(13)

Продифференцировав Q=Q_mcos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

(14)

где

(15)

Уравнение (14) может быть записано как

где φ = α – π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13)

(16)

Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС).

Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы. Это будет осуществлено далее для переменных токов.