Критерий Льенара-Шипара

 

Критерий Льенара-Шипара. При удобнее применять одну из модификаций критерия Гурвица, называемую критерием устойчивости Льенара-Шипара (1914 г.), который проще и требует раскрытия меньшего числа определителей, чем критерий Гурвица. Число условий устойчивости при его применении существенно снижается. По этому критерию САУ устойчива, если при только или , где . Например, при , САУ устойчива, если (обычно ).

 

Задание:

 

Ø Задание 7.1

 

С помощью алгебраического критерия Гурвица, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой (обратная связь отрицательная):

 

при K = 10; Т1= 0,5с; Т2= 0,5с; Т3= 0,07с; Т4= 0,01с.

 

Ø Задание 7.2

 

Выполнить приведенное выше задание 7.2 при следующих параметрах САУ: K = 1000, Т1= 0,5с, Т2= 0,1с, Т3= 0,02с, Т4= 0,01с.

 

Ø Задание 7.3

 

Выполнить приведенное выше задание 7.1 при условии, что в структурной схеме САУ обратная связь положительная.

 

Ø Задание 7.4

 

С помощью алгебраического критерия Гурвица определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой:

 

при K = 100; Т = 0,1с; ξ = 0,3.

 

Ø Задание 7.5

С помощью алгебраического критерия Рауса, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой:

 

при K = 100; Т = 0,1с; ξ = 0,3.

Ø Задание 7.6

С помощью алгебраического критерия Гурвица, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой:

 

при K = 10; Т1= 0,1с; ξ = 0,3; T2= 1; T3= 0,5.

 

Ø Задание 7.7

 

С помощью алгебраического критерия Гурвица, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой:

при K1= 100; Т1= 0,5с; ξ 1= 0,05; Т2= 0,2с; Т3= 0,001с; ξ3= 0,5; K2 = 100; Т4= 0,05.

 

Ø Задание 7.8

С помощью алгебраического критерия Рауса, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой:

при K1= 10; T1= 0,1с; ξ 1= 0,3; T2 = 1; K2= 50; T3= 0,5; ξ 3= 0,03; Т4= 0,5; Т5= 0,01.

 

Ø Задание 7.9

С помощью алгебраического критерия Рауса, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со структурной схемой, приведенной в задании 7.1 , при следующих условиях:

W1= p; W2= 100/(0,5p+1); W3= W4= W5= 1/(p2+p+1); W6= W7= 1/p.

 

Указания по выполнению работы:

 

Пример 7.1 С помощью алгебраического критерия Гурвица определим устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой (обратная связь отрицательная):

 

при K = 10; Т1= 0,5с; Т2= 0,1с; Т3= 0,02с; Т4= 0,01с.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Записать характеристическое уравнение САУ.	Определяем характеристический полином: D(p) = T1T3T4p4 + (T1T3 + T1T4 + T3T4)p3 + + (T1 + T3 + T4)p2 + (KT2+1)p +K. Подставляя значения параметров САУ и приравнивая полином к нулю, получаем характеристическое уравнение D(l) = a4l4 + a3l3 + a2l2 + a1l + a0 = 0 где a4 = 0,0001, a3 = 0,0152, a2 = 0,521, a1 = 2, a0 = 10.
	Проверить выполнение необходимых условий устойчивости.	Все коэффициенты характеристического уравнения положительны – основное необходимое условие выполнено. Рассчитываем показатели дополнительного необходимого условия устойчивости: Значения М1и М2 меньше 1 – дополнительное необходимое условие устойчивости выполнено.
	Вычислить соответствующие характеристики алгебраических критериев.	Вычисляем значения определителя Гурвица и его диагональных миноров в безразмерной форме:
	Произвести проверку выполнения условий устойчивости.	Старший безразмерный определитель Гурвица и его диагональные миноры больше нуля – исследуемая система устойчива.

Пример 7.2 Определим устойчивость системы с помощью алгебраического критерия Гурвица.

Уравнение непрерывной части системы описывается урав­нением (1).

Объект управления (ОУ) описывается линейным диффе­ренциальным уравнением третьего порядка:

 

 

(1)

 

Пусть Т₁ = 8, Т₂ = 12, Т₃ = 5, k = 3. Коэффициент Т_n = 0.175 в пер­вой контрольной работе не используется. Уравнение (1) примет вид:

 

(2)

 

Передаточная функция ОУ в общем случае может быть представлена в виде отношения

,

где и – изображения по Лапласу выходной и вход­ной переменных ОУ, соответствующих левой и правой частям уравнения 1. Отсюда, передаточная функция будет иметь вид:

 

, (3)

или

. (4)

 

Воспользуемся алгебраическим критерием устойчи­вости Рауса-Гурвица в форме Гурвица.

Рассмотрим характеристический полином передаточной функции системы .

.

 

Из коэффициентов характеристического полинома составим матрицу:

Критерий устойчивости Гурвица сводится к тому, что должны быть больше нуля все диагональные миноры данной матрицы.

Проверим:

, первый минор положителен;

, второй минор положите­лен.

Так как в последнем столбце матрицы Гурвица все эле­менты, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель выражается через предпоследний следующим образом:

, третий определитель также положителен.

Следовательно, в разомкнутом состоянии система устой­чива.

Используем критерий Гурвица для системы в замкнутом со­стоянии. Передаточная функция (ПФ) замкнутой системы по от­ношению к разомкнутой ПФ представляется выражением:

. (5)

Отсюда,

.

Также как и для разомкнутой системы, составим матрицу из коэффициентов характеристического полинома ПФ.

Проверим знак всех диагональных миноров.

, первый минор положителен;

 

, второй минор положите­лен. Третий минор . Непрерывная часть в замкну­том состоянии устойчива.

Пример 7.3 Расчет устойчивости систем по критерию Гурвица.

Рассчитать устойчивость системы, заданной следующей структурной схемой (рис 7.3)

 

Рисунок 7.3

 

W₁(P)=k₁; W₂(P)= ;W₃(P)= ; W₄(P)= .

 

Параметры звеньев: k₁=12; k₂=80; k₃=0.15; k₄=2; T₂=0.5; T₃=10; T₄=2.

 

 

Запишем эквивалентную передаточную функцию системы

 

W_зам(р) = .

 

Запишем передаточную функцию системы, разомкнутой по главной обратной связи.

W_раз(p) = W₁(P) ×W₂(P) ×W₃(P) ×W₄(P) = .

Характеристическое уравнение системы.

 

D(p)=1+ W_раз(p)=0 ® D(p)=1+ = 0;

 

K_э+(Т₂Т₃р³+Т₂р²+Т₄р+р)(Т₃²р²+2Т₃р+1)=0; Kэ=К₁К₂К₃К₄;

 

K_э + Т₂Т₄Т₃² р⁵ + (2Т₂Т₄Т₃ + Т₂Т₃² + Т₄Т₃²) р⁴ + (Т₄Т₂ + 2Т₂Т₃ + 2Т₄Т₃ + Т₃²) р³ +
(Т₂ + Т₄ + 2Т₃) р² + р = 0 ® .

 

Подставляя численные значения, получаем:

.

 

Т.к. все коэффициенты положительны, то первое условие Гурвица выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов характеристического уравнения и вычислим определители:

	22.5
		22.5

 

D₁=270>0; D₂=270•151-100•22,5=38520>0

 

		22.5
D3=				= 917325+0+7776000-0-72900-50625 = 8569800>0
			22.5

 

		22.5
D4 =					= – 7 ,96*108 <0
		22.5

Т.к. D₄ меньше нуля то система неустойчива.

 

Критерий Рауса. Коэффициенты первого столбца таблицы должны быть положительны.

 

100р⁵+270р⁴+151 р³+ 22,5р⁴+ р+288=0

 

№ п/п	Значение вспомогательного коэффициента	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3
	----------------
	----------------

Т.к. с₁₅<0, то система неустойчива.