Разложение функций в ряд Тейлора

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Саратовский техникум железнодорожного транспорта - филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

"Самарский государственный университет путей сообщения"

СТЖТ-филиал СамГупс

Реферат

На тему: «Числовые ряды. Сходимость рядов»

Дисциплина: «Математика»

Выполнил:

Студент группы Т-25в

Сунчаляев Мунир

Проверила: Лусточкина Г.Н.

Саратов 2015

Оглавление

1.Функциональные последовательности. 3

2. Функциональные ряды. 4

3 .Разложение функций в ряд Тейлора. 5

4. Разложение функции в ряд Фурье. 5

5.Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке. 6

6.Ряды. 6

7.Числовые ряды.. 7

1.Функциональные последовательности.

Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным. Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится. Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

Определение. Последовательность {f_n(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 существует номер N = N(e), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

Построим графики этой последовательности:

sinx

Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.

Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

Функциональные ряды.

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х₀), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммойряда в точке х₀. Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимостиряда.

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Разложение функций в ряд Тейлора.

При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды Тейлора. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд

называется рядом Тейлора для функции в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена: . Функция может быть разложена в степенной ряд на интервале , если существует степенной ряд, сходящийся к на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то это ряд Тейлора. Пусть функция бесконечно дифференцируема на интервале и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, то есть существует число , такое, что для всех и для всех справедливо неравенство . Тогда ряд Тейлора сходится к для всех . Приведем разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций.