Регрессионный анализ (поиск формы и уравнения связи)

1 этап. Выбор формы связи между признаками

На основании рисунка 1 предположим, что связь между стоимостью собственных оборотных средств и средним размером активов описывается линейным уравнением регрессии .

2 этап. Построение уравнения связи

Для расчета коэффициентов a₀, a₁ линейного уравнения регрессии построим таблицу вспомогательных расчетов 10.

Составим систему нормальных уравнений для линейной формы связи между факторным признаком и результативным признаком :

Таблица 10

Таблица вспомогательных расчетов для построения уравнения регрессии

№ предприятия	№ предприятия п/п	Стоимость СОС, млн. руб.	Размер балансовой прибыли, млн. руб.	Вспомогательные расчеты
		Выровненные значения по уравнению прямой
	i	( )	( )	xi ∙ yi
		88,9	64,5	5734,05	7903,21	61,1
		99,0	64,5	6385,5		66,9
		99,0	64,5	6385,5		66,9
		99,0	64,5	6385,5		66,9
		101,2	69,0	6982,8	10241,44	68,2
		101,2	71,0	7185,2	10241,44	68,2
		104,9	68,5	7185,65	11004,01	70,3
		105,1	71,0	7462,1	11046,01	70,4
		112,3	82,5	9264,75	12611,29	74,6
		112,3	73,0	8197,9	12611,29	74,6
		112,3	74,0	8310,2	12611,29	74,6
		112,3	74,0	8310,2	12611,29	74,6
		112,3	74,0	8310,2	12611,29	74,6
		115,7	72,0	8330,4	13386,49	76,6
		116,5	78,5	9145,25	13572,25	77,0
		116,9	76,0	8884,4	13665,61	77,3
		116,9	74,0	8650,6	13665,61	77,3
		117,5	78,5	9223,75	13806,25	77,6
		121,1	79,0	9566,9	14665,21	79,7
		123,4	82,5	10180,5	15227,56	81,0
		124,5	78,0		15500,25	81,7
		127,2	82,5		16179,84	83,2
		127,6	85,0		16281,76	83,4
		134,2	94,0	12614,8	18009,64	87,3
		145,8	95,5	13923,9	21257,64	94,0
		146,3	95,5	13971,65	21403,69	94,3
		156,4	101,5	15874,6	24460,96	100,1
		156,7	96,0	15043,2	24554,89	100,3
		156,9	102,0	16003,8	24617,61	100,4
		163,2	101,5	16564,8	26634,24	104,0
Сумма	3626,6		295129,1	449785,1

На основании данных таблицы 10 систему нормальных уравнений для выявления связи между факторным признаком – стоимость собственных оборотных средств предприятия – и результативным признаком – размер балансовой прибыли предприятия – можно записать в следующем виде:

Решив систему уравнений, получаем значения параметров:

=9,694 ; =0,578.

Таким образом, линейное уравнение связи принимает вид: . Подставляя в него поочередно все значения стоимости СОС x_i, получаем теоретические значения размера балансовой прибыли (столбец 7 таблицы 10). Правильность произведенных расчетов подтверждает тот факт, что сумма теоретических уровней ряда равна сумме фактических уровней:

2387 млн. руб.

Параметр –коэффициент регрессии – показывает, что при увеличении стоимости собственных оборотных средств на 1 млн. руб. средний размер балансовой прибыли увеличивается на 0,578 млн. руб. (578 тыс. руб.) и, наоборот, при снижении стоимости собственных оборотных средств на 1 млн. руб. средний размер балансовой прибыли уменьшается на 578 тыс. руб.

Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении стоимости оборотных средств на 1% размер балансовой прибыли увеличивается на 0,88%, и наоборот.

Оценим среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии ( ):

где – число параметров уравнения регрессии (для уравнения прямой =2).

Поскольку <s_у (s_у= млн. руб.), то использование линейного уравнения регрессии является целесообразным.

Отдельно оценим средние квадратические ошибки параметров уравнения регрессии по формулам:

млн. руб.; ,

где

Нанесем фактические и теоретические значения активов, а также линию среднего размера балансовой прибыли на график (рис. 2).

Как видно из рисунка 2, переменная средняя (линия теоретических значений) сильно отличается от постоянной средней, что говорит о значительном влиянии фактора х (стоимости СОС) на результативный признак y (размер балансовой прибыли). Однако несовпадение линии теоретических и фактических значений размера балансовой прибыли говорит о том, что связь между стоимостью СОС и размером балансовой прибыли не функциональная (не полная).

Рис. 2. Эмпирические линии регрессии фактических и теоретических значений
балансовой прибыли в зависимости от стоимости СОС, постоянная средняя линия

Измерим степень близости связи к функциональной.

3 этап. Измерение тесноты связи между признаками

Рассчитаем все виды дисперсий:

- общая дисперсия, измеряющая общую вариацию результативного признака за счет действия всех факторов:

(общая дисперсия также была рассчитана раньше);

- факторная (теоретическая) дисперсия, измеряющая вариацию результативного признака у за счет действия только факторного признака х:

- остаточная дисперсия, характеризующая вариацию признака у за счет всех факторов, кроме х:

Проверим, выполняется ли правило сложения дисперсий:

127 +8 = 135 (верно).

Оценим тесноту связи численно с помощью ряда показателей:

1. Коэффициент детерминации:

- удельный вес вариации результативного признака, линейно связанной с вариацией факторного признака, составляет 94,1%.

2. Индекс корреляции (теоретическое корреляционное отношение) составляет:

- поскольку численное значение индекса корреляции близко к единице, то линейная связь между стоимостью собственных оборотных средств и балансовой прибыли сильная (тесная).

3. Линейный коэффициент корреляции:

,

где ;

(млн. руб.); млн. руб.;

s_у= млн. руб.;

.

Поскольку линейный коэффициент вариации положителен, то связь между признаками прямая, т.к. он близок к единице – связь тесная.

4 этап. Проверка существенности связи с использованием критерия Фишера:

где – число параметров уравнения регрессии (у прямой два параметра).

Критическое значение критерия Фишера для v₁=1 и v₂=28 составляет: F_кр =4,2 (прил. 2). Поскольку полученное значение F_расч > F_кр , то существенность линейной связи между стоимостью собственных оборотных средств и размером балансовой прибыли предприятия подтверждается.