П. 6. Понятие о ранге матрицы

Матрица имеет много миноров, причем некоторые из них могут равняться нулю, а другие быть отличными от нуля. Замечание. Миноры существуют и для прямоугольных матриц. Они получаются путем вычеркивания нескольких строк и столбцов, лишь бы количество оставшихся строк равнялось количеству оставшихся столбцов, при этом порядок минора матрицы размера не превосходит меньшего из чисел m и n.

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Определение 18. Наивысший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля, называется рангом матрицы А. Обозначение: rang A или r A.

Примеры.Найти ранг матрицы.

1. .

Решение. Найдем миноры 2-го порядка: , , . Все определители второго порядка равны 0. Найдем миноры первого порядка: М_2,23= 2 ≠ 0, следовательно, rang В = 1.

2. .

Решение. Так как матрица квадратная, то минором наивысшего порядка является определитель матрицы. Найдем его: , следовательно, меньшие по порядку миноры можно не искать, наивысший (третий) найден, т.е. rang С = 3.

3. .

Решение. Так как матрица квадратная, то минором наивысшего порядка является определитель матрицы. Найдем его: , следовательно, надо найти меньшие по порядку миноры. , минор второго порядка отличен от нуля, следовательно, rang D = 2.

Определение 19. Строки матрицы А называются линейно зависимыми, если какая-либо из них линейно выражается через остальные. В противном случае – строки линейно независимы. (аналогично столбцы).

Пример. . Найти количество линейно независимых строк и столбцов.

Решение.Обозначим строки: Е₁ = (2 3 1), Е₂ = (–1 0 1), Е₃ = (1 3 2). Видно, что Е₃ = Е₁ + Е₂, следовательно, Е₁, Е₂, Е₃ – линейно зависимы. Е₂ ≠ k Е₁, следовательно, Е₁ , Е₂ – линейно независимы. Вывод: матрица имеет две линейно независимых строки.

Обозначим столбцы: F₁, F₂, F₃. Видно, что F₂ = F₁ + F₃, следовательно, F₁, F₂, F₃ – линейно зависимы. F₁ ≠ k F₂, следовательно, F₁, F₂ – линейно независимы. Вывод: матрица имеет два линейно независимых столбца.

Можно доказать, что для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк и максимальное число линейно независимых столбцов совпадают.

Определение 20.Ранг матрицы равен максимально возможному числу ее линейно независимых строк (столбцов).

Т.е. rang H = 2. Проверим первым способом. , , т.е. rang H = 2.

Замечание.Ранг квадратной матрицы не превосходит ее порядок. Ранг равен порядку в том и только в том случае, если матрица невырожденная. Ранг матрицы размера не превосходит меньшего из чисел m и n.

Не изменяют ранга элементарные преобразования над матрицами:

1. перестановка строк (столбцов),

2. умножение строки (столбца) на число, не равное нулю,

3. прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число,

4. отбрасывание нулевых строк (столбцов),

5. транспонирование.

Если удастся путем элементарных преобразований привести матрицу к трапециевидной форме, то ееранг будет равен числу ее ненулевых строк!

При приведении матрицы к трапециевидной форме удобно пользоваться численным методом Гаусса:

1) переставляя строки, добиваемся, чтобы и , последнее можно достичь (если в первом столбце нет единиц) путем деления всей строки на . Первую строку называют рабочей, а элемент – ведущим.

2) умножаем первую строку на числа ( ), где , прибавляем ее соответственно ко второй и т.д. m-ой строке, получаем в 1-ом столбце под нули.

3) не трогая первой строки, добиваемся, чтобы и путем деления всей строки на или путем перестановки строк. Теперь вторая строка стала рабочей, а элемент – ведущим.

4) умножаем вторую строку на числа ( ), где , прибавляем ее соответственно к третей и т.д. m-ой строке, получаем во 2-ом столбце под нули.

5) и т.д.