Числовая прямая, числовые промежутки

Прямую линию с выбранными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Каждому числу можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой.

Для числовых промежутков вводят обозначения:

· [a; b] или a≤ х ≤ b – замкнутый промежуток (или отрезок) с началом a и концом b;

· (a; b) или a< х <b - открытый промежуток (интервал);

· (a; b] или a< х ≤ b; [a; b) или a≤ х < b – полуоткрытые промежутки (полуинтервалы);

· [a; + ∞) или х ≥ a; (- ∞; b] или х ≤ b – лучи;

· (a; + ∞) или х >a; (- ∞; b) или х < b – открытые лучи;

· (- ∞; + ∞) = R – координатная прямая.

Модуль числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа a называется само это число, если a≥ 0, и противоположное число –a, если a< 0. Модуль a обозначается |a|. Итак,

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчёта.

Если a≠0, то на координатной прямой существуют две точки a и –a, равноудалённые от нуля, модули которых равны:

Свойства.

Степень с натуральным показателем. Понятие. Свойства

Степенью числа a с показателем n, где n N, а R, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a: .

Число a называется основанием степени, n – показателем степени.

Свойства:

· при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним

· при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним

· при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним

· степень произведения равна произведению степеней множителей

· степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

·

·

· если 0 ≤ а < b, то

· если а > 1, то , при m > n.

· если 0 < а < 1, то при m > n.

· если а < 0, то при четном n и при нечетном n.

Утверждения:

· чётная степень отрицательного числа есть число положительное;

· нечётная степень отрицательного числа есть число отрицательное;

· любая степень положительного числа есть число положительное;

· при возведении нуля в любую натуральную степень получается нуль;

· при возведении 1 в любую натуральную степень получается единица.

Степень с целым и дробным (рациональным) показателем.

1. Рассмотрим степень а^р, где р Z.

Если р=0,то при

Если р<0, то при

2. Рассмотрим степень , где - рациональное число. Выражение имеет в общем виде смысл только при а>0. Если а>0, р Z, q N, то .

3. Степень с целым и рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с натуральным показателем:

;

;

;

;

.