ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

 

1–10. Найти область определения заданных функций.

 

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

6. а) ; б) .

7. а) ; б). .

8. а) ; б) .

9. а) ; б) .

10. а) ; б) .

11–20.Построить графики функций.

11.а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

14. а) ; б) .

15. а) ; б) .

16. а) ; б) .

17. а) ; б) .

18. а) ; б) .

19. а) ; б) .

20. а) ; б) .

21–30.Изобразить схематично график функции y = f(x), удовлетворяющей заданным условиям.

21. 22.

 

23. 24.

25. 26.

 

27. 28.

 

29. 30.

31–40. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

31.а) ;

б) ; в) ;

г) д) .

32.а) ;

б) ; в) ;

г) д) .

33.а) ;

б) ; в) ;

г) д) .

34.а) ;

б) ; в) ;

г) д) .

35.а) ;

б) ; в) ;

г) д) .

36.а) ;

б) ; в) ;

г) д) .

37.а) ;

б) ; в) ;

г) д) .

38.а) ;

б) ; в) ;

г) д) .

39.а) ;

б) ; в) ;

г) д) .

40.а) ;

б) ; в) ;

г) д) .

41–50. Заданы функции y=f(x). Требуется: определить их точки разрыва, характер точек разрыва и сделать схематический чертёж.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

 

51–60.Найти точку разрыва функции y=f(x) и указать её характер. Построить график функции.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

 

Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в задание на контрольную работу № 3. Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра).

 

Вариант
Номера задач контрольных заданий

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1 / Д.Т. Письменный. – 2-е изд., исп. – М.: Айрис-пресс, 2003.

2. Лесняк, Л.И. Производная и ее приложения: учебное пособие / Л.И. Лесняк, В.А. Старенченко. – Томск: Изд-во НТЛ, 2005.

3. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1980.

4. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985. – Т. 1.

5. Берман, Г.И. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.И. Берман. – М.: Наука, 1971.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………….. Введение в математический анализ………………...…... 1. Понятие функции……………………………………….. 1.1. В связи с чем возникло понятие функции?............... 1.2. Каким должен быть характер изменения двух переменных величин, чтобы одна из них являлась функцией другой?....................................................... 1.3. Как можно задать функцию?...................................... 1.4. Какие функции принято называть простейшими элементарными функциями?.........………………... 1.5. Графический обзор простейших элементарных функций……………………………………………... 1.6. Известен график функции y = f(x). Как построить графики функций y = f(x+a), y = f(x)+b, y = f(k ∙ x), y = k ∙ f(x) ?................................................ 1.7. Понятие сложной функции…………………………. 2. Понятие предела функции..…………………………… 2.1. Виды окрестностей. Условие принадлежности точки заданной окрестности………………………... 2.2. В связи с чем возникло понятие предела функции?. 2.3. Определение предела функции в случаях 1–4…….. 2.4. Определение односторонних пределов функции…. 3. Понятие непрерывности функции в точке………….. 3.1. Три определения непрерывной в точке x0 функции……………………………………………… 3.2. Геометрическая иллюстрация поведения функции в случаях…………………………………………….. 3.3. В каком случае функция y = f(x) называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b]?................ 3.4. В каком случае будут непрерывны функции ?............................. 3.5. Что можно сказать о непрерывности простейших элементарных функций?............................................ 3.6. Перечислить условия, при которых сложная функция y = f(g(x)) будет непрерывна в точке x0 ... 3.7. Как много непрерывных функций?............................ 4. Техника вычисления пределов………….…...……….. 4.1. Как найти , если f(x) непрерывная в точке x0 функция?........................................................... 4.2. Как найти ? 4.3. Пусть , ( является бесконечно малой величиной при ), (U(x) является бесконечно большой величиной при ). Перечислить теоремы, на основании которых , , , 4.4. Что можно сказать о и , где и – бесконечно малые при , U(x) и V(x) – бесконечно большие при ?.............. 4.5. Что можно сказать о произведении бесконечно малой при величине на ограниченную в окрестности точки x0 функцию?............................... 4.6. В каком случае произведение двух функций представляет собой неопределенное выражение?.............. 4.7. Что можно сказать о если U(x) и V(x) – бесконечно большие при x→x0 ?................... 4.8. Как найти предел степенно-показательной функции?...................................................................... 4.9. В каких случаях будет при x → x0 неопределенным выражением?................................. 4.10. На основании всего вышеизложенного перечислить все возможные неопределенные выражения…………………………………………………… Примеры на вычисление пределов функции………….. 1. Нахождение пределов в случае отсутствия неопределенности…………………………………………………... 2. Раскрытие неопределенностей вида …………… 2.1. Нахождение , где Pn(x) и Qm(x) некоторые многочлены, путем разложения числителя и знаменателя на множители…………………. 2.2. Раскрытие иррациональных неопределенностей вида …………………………………………….. 2.3. Раскрытие неопределенных выражений вида с помощью первого замечательного предела и его следствий……………………………………… 2.4. Введение новой переменной……………………... 3. Раскрытие неопределенностей вида …………… 4. Раскрытие неопределенностей вида и .. 5. Раскрытие неопределенностей вида …………….. 6. Использование эквивалентностей при вычислении пределов………………………………………………..... 5. Классификация точек разрыва функции.................... 5.1. В чём заключается необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке x0 ?........ 5.2. Как осуществляется классификация точек разрыва функции?....................................................................... 5.3. Примеры на нахождение точек разрыва функции и их классификацию…………………………………... 6. Задачи для контрольных заданий.…………………… Контрольные задания…………………………………….. Список рекомендуемой литературы…………………….