Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея (см

Преобразования Галилея (см. Кинематика равномерного поступательного движения) определяют, как преобразуются координаты и время события при переходе от одной ИСО к другой. Опыт показывает, что механические явления протекают одинаково, независимо от того, с какой постоянной скоростью движется лаборатория. Этот фундаментальный закон природы носит название принципа относительности Галилея и может быть сформулирован следующим образом.

Все законы классической механики не меняют своего вида при переходе от одной ИСО к другой, т.е. законы механики инвариантны (не меняют своего вида) относительно преобразований Галилея.

Определение ускорения свободного падения с помощью

Машины Атвуда

Ускорение свободного падения g можно найти с помощью простого опыта: бросить тело с известной высоты h и измерить время падения t, а затем из формулы h = gt²/2 вычислить g.

В действительности дело обстоит не так просто, если требуется определить g достаточно точно. Определим время t падения с высоты h =1,0 м при g, равном 9.8 м/с²:

, (34)

По нашей оценке при проведении такого эксперимента необходимо измерять время с точностью до 0,01 с. Оценим разброс для t₁= 0,44 с; t₂ = 0,45 с; t₃ = 0,46 с по формуле g = 2h/t²:

g₁= =10,3300578м/с²≈10,3 м/с²

g₂= =9,8765431м/с²≈9,9м/с²

g₃= =9,4517956м/с²≈9,4м/с²

Понятно, что измерить время с точностью до 0,01 с не просто. Наручные часы или спортивный секундомер для такой цели непригодны.

Если увеличить высоту, то время падения тоже увеличится. Так при h= 5 м время падения будет 1 с, а при h = 20 м — 2 с. В этом случае можно ограничиться меньшей точностью при измерении времени, например 0,1 с, но возникает ошибка другого характера. Сопротивление воздуха при больших скоростях играет заметную роль. Формула h = gt²/2 описывает равноускоренное движение и, конечно, не учитывает сопротивления воздуха. Таким образом, увеличивая высоту h, мы увеличиваем время падения и уменьшаем относительную погрешность измерения времени, но при этом вносим другую ошибку: сама формула h = gt²/2 становится неточной. Более того, если кирпич сбросить с высоты h≈ 500 м, то примерно первые 200 м он будет двигаться с ускорением, а затем сила сопротивления воздуха станет равной силе тяжести (это будет при скорости примерно 70 м/с) и тело остальные 300 м будет падать с постоянной скоростью u≈ 70 м/с. В этом случае формула h = gt²/2 становится неверной. Этот простой пример наглядно подчеркивает общую черту любого физического эксперимента. В любом эксперименте точность измерений какой-либо физической величины связана не только с точностью измерительных приборов, но и с тем, насколько точно принятая модель описывает данный опыт. В рассматриваемом нами опыте мы видим, что точность измерения ускорения g связана не только с точностью измерения времени t, но и с тем можно или нет пренебречь трением о воздух. Иными словами; достаточно точно или нет описывает формула h = gt²/2 движение тела.

Трудности опыта связаны с большим значением ускорения свободного падения. Так как ускорение большое, то тело быстро набирает скорость, а при этом или время падения мало и его трудно точно измерить, или сама формула h = gt²/2 не точна.

Уменьшить ускорение можно с помощью устройства, которое называют машиной Атвуда (рисунок 10).

 

Рисунок 10 Принципиальная схема установки

Через блок перекинута нить, на которой закреплены грузы массой М каждый. На один грузов кладется перегрузок массой т. Ускорение грузов легко найти, если ввести два предположения (выбрать модель!):

1) блок и нить невесомы, т. е. их массы равны нулю;

2) трением тела о воздух и трением между блоком и его осью можно пренебречь.

С учетом этих предположений уравнения движения грузов имеют вид

Mg - T= -Ma, (М + m) g - Т = (М +т) а,

(35)

где Т — сила натяжения нитей, а — ускорение грузов. Из уравнений (1) получаем

(36)

где ε = m/(2М).

Время, за которое груз опускается на высоту h, равно

(37)

Формально из выражения (37) следует, что время падения груза может быть сколь угодно большим, если уменьшить ε. Например, если взять грузы массами М = 5 кг каждый, перегрузок массой т = 1 г, то ε = 10^-4, а время спуска груза на высоту h = 1 м примерно равно 45 с. Это время можно достаточно точно измерить секундомером. Однако реально такой опыт невыполним. Мы предположили, что трение в оси блока отсутствует. Но в действительности оно есть. Весь вопрос в том, можно ли им пренебречь или нет.

Если подвесить к блоку на нитях тяжелые грузы, то в оси блока будет большая сила трения. Чем массивнее грузы, тем больше силатрения. Значит, необходимо брать достаточно тяжелый перегрузок, чтобы преодолеть эту силу трения и привести всю систему в движение.

Сделаем теперь количественные оценки. Пусть m₀ — масса такого перегрузка, который только-только страгивает блок с грузами. Это значит, что любой перегрузок меньшей массы не приводит систему в движение. В этом случае момент сил натяжения нитей равен моменту силы трения М_тр в оси блока:

(38)

где T₂= (M + m₀) g и T₁ = Mg — силы натяжения нитей, R — радиус блока (рисунок 11). Момент силы трения в оси блока

 

Рисунок 11 Принципиальная схема установки с учётом силы трения и размеров блока и оси блока

Момент силы трения в оси блока M_tp= F_tpr, где F_tp — сила трения между блоком и осью, r— радиус оси.

Сила трения F_тр между блокоми осью пропорциональна силе давления на оси блока. Тогда

N=T₁+T₂==(2M+m₀)g (39)

F_тр=μN=μ(2M+m₀)g,

где μ— коэффициент трения между блоком и осью, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей втулки блокаи оси.Таким образом, момент силы тренияв оси блока

(40)

Обозначим ε₀=m₀/(2M). Подставим (40) в (38):

(41)

Как видно из (41), значение ε₀ не может быть сколь угодномалым.Оно определяется конструкцией блока (например, егорадиусамиR и r) и коэффициентом трения между блокомиосью.

Так как в машине Атвуда m₀<< М, то ε₀<<1 и

ε₀ ≈μr/R

Какое же значение ε₀ можно ожидать? Типичное значение коэффициента трения μ ~10^-2 ¸ 10^-1. На наших установках r/R ~ 10^-2 ¸ 10^-1. Таким образом, ε₀~ 10^-4 ¸ 10^-2. Мы привели лишь правдоподобные рассуждения о том, каким может быть ε₀. Существенно то, что ε₀ можно оценить экспериментально. Например, на установке с грузами массой М = 86 г перегрузок массой 1г не страгивает блока, а перегрузок массой 2 г приводит блок в движение. Это значит, что

В таком случае оценить ε₀, характеризующую установку, можно лишь по порядку величины. Как оказывается, она порядка 10^-2. Интуитивно ясно, что трением можно пренебречь, если масса перегрузка т >> m₀.

Действительно, если масса перегрузка чуть больше m₀, то трение в оси блока будет решающим образом определять движение грузов. Это движение уже не будет равноускоренным. Может даже случиться, что система будет двигаться рывками, т. е. остановится, затем снова придет в движение и т. д.

Таким образом, при т m₀, т. е. при ε ε₀, формула (36) становится неверной. Можно ожидать, что при ε>> ε₀ она достаточно точно описывает реальную ситуацию. Так как ε₀ 10^-2, то оптимальное значение ε ~ 10^-1. Это значит, что экспериментировать надо с перегрузками 5—20г (при М = 86 г). Если взять ε ~1, то а ~ g. Мы приходим к случаю почти свободного падения.

Можно показать, (см. контрольный вопрос 2), что относительная погрешность при определении ускорения грузов, связанная с пренебрежением массой блока и трением, равна

где m_б— масса блока.

Так как величины m₀/т и m_б /(2М) одного и того же порядка 10^-1, то и относительная погрешность при измерении ускорения ~ 10^-1. Очевидно, что такого же порядка будет и относ тельная погрешность при измерении g.

Методика измерений

В первую очередь необходимо определить минимальную массу перегрузка m₀ страгивающего блок, с тем, чтобы в дальнейшем проводить измерения с грузами, в 5—10 раз превышающими массу m₀. Только в этом случае можно пренебречь влиянием трения на движение системы. Не следует стремиться определить m₀ точно, достаточно получить ее правильную оценку «сверху», например, выяснить, что m₀ не превышает 1 г или 2 г. Для определения m₀ можно постепенно увеличивать массу перегрузка, пока блок придет в движение. Так как блок не может быть отцентрирован идеально, то может оказаться, что в различных начальных положениях блока массы страгивающего перегрузка различны. Поэтому нужно повторить измерения m₀, в разных положениях блока, а затем в качестве оценки для m₀ взять наибольшее из найденных значений.

Следует убедиться, что движение системы при достаточно большой фиксированной массе перегрузка m >>m₀ является равноускоренным. Для этого нужно экспериментально проверить выполнение зависимости h = аt²/2. Удобно переписать это соотношение в виде

(42)

из которого ясно, что в осях координат х = , у = t прямая t= t( ), проходящая через начало координат, соответствует равноускоренному движению.

Прямая t ( ) может быть построена по экспериментальным точкам: для одного перегрузка m и ряда различных значений высоты h измеряется время падения груза. Измерения времени для каждой высоты производятся несколько раз, результаты усредняются и записываются в виде

t = ,

где — среднее арифметическое значение измеренного времени падения для данной высоты. В условиях эксперимента погрешность Dt оказывается заметно превышающей погрешность в показаниях электронного миллисекундомера (Dt)₀, а именно:

Dt>>(Dt)₀=10^-3 с.

Поэтому было бы грубой ошибкой считать, что погрешность определения времени падения равна 10^-3 с.

Для построения графика на оси ординат откладываются измеренные значения с указанием погрешности

(43)

где n — число измерений, t_i — результат i-гo измерения.

На оси абсцисс откладывается . Если полученные экспериментальные точки ложатся на прямую, то движение системы можно считать равноускоренным.

Наконец, важно выяснить, подтверждается ли на опыте зависимость времени падения от массы m перегрузка [см. (2)]:

(44)

В осях координат х = , y=t функция t == t ( ) является уравнением прямой. Зависимость t=t ( ) при фиксированной высоте падения h может быть построена по экспериментальным точкам: для нескольких значений массы перегрузка определяется время падения t = ± Dt.

Измерение времени падения при каждом m повторяют несколько раз, результаты усредняют и находят среднее значение и разброс Dt. Полученные экспериментальные данные откладывают на осях координат на оси ординат — значения с указанием погрешности Dt, на оси абсцисс — соответствующие значения . Затем через полученные точки проводится прямая, и по ее наклону определяется значение g.