В урне 15 шаров: 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что два наугад вынутых шара будут одного цвета

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Экзамен

По дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика

Билет №7

Выполнил:

Группа: ФКТ-23

Проверил: ___________________

Новосибирск, 2013г

Билет № 7

Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p=P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) – буквой .

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли:

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Надо заметить, что использование биномиального закона зачастую связано с вычислительными трудностями. Поэтому с возрастанием значений n и m становится целесообразным применение приближенных формул (Пуассона, Муавра-Лапласа), которые будут рассмотрены в следующих разделах.

В урне 15 шаров: 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что два наугад вынутых шара будут одного цвета.

Решение:

1) Вероятность того, что первый шар будет красным (событие А) равна:

Вероятность того, что второй шар также будет красным при условии, что первый шар красный (Событие B), равна:

Так как события зависимые, применима теорема умножения:

2) Вероятность того, что первый шар будет синим (событие С) равна:

Вероятность того, что второй шар также будет синим при условии, что первый шар синий (Событие D), равна:

Так как события зависимые, применима теорема умножения:

3) Так как события несовместны применима теорема сложения и вероятность того что два шара будут одного цвета, т.е. 2красных или 2 синих равна: