Прямая и плоскость в пространстве

Матрицы

Совокупность чисел, расположенный в виде прямоугольной таблицы из строк и столбцов называется матрицейразмерности на .

(1.1)

 

 

где меняется от 1 до , меняется от 1 до .

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами: - элемент, находящийся в ой строке и ом столбце.

Если , то матрица называется квадратной порядка .

Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, не лежащие на главной диагонали , называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1 называется единичной:

. (1.2)

Одной из важнейших характеристик матрицы порядка называется число - ее определитель, который обозначается или .

Минором элемента называется определитель, полученный из данного вычеркиванием ой строки и ого столбца, на пересечении которых находится элемент .

Алгебраическим дополнением элемента называется число, найденное по формуле

(1.3)

Определителем го порядка называется число, равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

(1.4)

Таким образом,

Итак, (1.5)

 

При вычислении определителей можно применять следующие их свойства.

1. , где - транспонированная матрица (получена из данной матрицы заменой строк на столбцы с сохранением номеров элементов), т.е. строки и столбцы определителя равноправны.

2. При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Если все элементы строки (столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

Определитель не изменится если его строку заменить линейной комбинацией этой и любой другой строк (суммой этой строки и любой другой, умноженной на одно и то же, не равное нулю число).

 

Две матрицы и ) называются равными, если

они одной размерности и их соответствующие элементы равны, т.е. при всех и

(1.6)

Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов:

(1.7)

 

Чтобы умножить матрицу А на число надо каждый элемент этой матрицы умножить на :

(1.8)

 

Если матрица А имеет размерность , а матрица В - , то произведением матрицы А на В называется матрица С размерности , элементы которой определяются равенствами:

(1.9)

 

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если

(1.10)

Квадратная матрицу имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен 0.

 

Для того, чтобы найти обратную матрицу надо:

1. Вычислить ее определитель.

2. Заменить элементы матрицы их алгебраическими дополнениями и транспонировать полученную матрицу, которая называется присоединенной обозначим ее .

3. Разделить матрицу на определитель данной матрицы.

(1.11)

 

Система вида

(1.12)

называется системой линейных уравнений с неизвестными. Эту систему можно записать в матричном виде:

АХ = В, (1.12а)

 

Где , , .

Одним из методов решения системы (1.12) является метода Гаусса. Для его применения надо:

1) расширенную матрицу

привести к треугольному виду, а именно

заменяя строки, начиная со второй линейной комбинацией этой строки и предыдущей.

2) По треугольной матрице записать систему линейных уравнений (можно показать, что эта система будет эквивалентна данной системе) и решить ее «снизу вверх».

 

Векторы

1. Вектор – это направленный отрезок. Обозначаются векторы или , где А – начало вектора, а В – его конец. Пусть единичные, взаимно перпендикулярные векторы такие, что направление совпадает с направлением оси ОХ, - оси ОУ, оси ОZ , тогда вектор где проекции вектора на соответствующие оси называются координатами этого вектора.
Пусть даны координаты точек А и В и векторов , , , тогда
2. Координаты вектора по координатам начала и конца.
3. Длина вектора
4. Равные векторы, имеют равные координаты
5. Сумма (разность) векторов
6. Произведение вектора на скаляр (число) :
7. Скалярным произведением вектора на вектор назы- вается число, равное произве-дению длин этих векторов на косинус угла между ними: ^
8. Косинус угла между векто-рами равен скалярному про-изведению этих векторов на произведение их длин	, ^
9. Векторным произведением называется вектор , такой что 1) , направлен так, что кратчайший поворот от к с конца наблюдается против часовой стрелки; 2)
10. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна длине векторного про- изведения этих векторов.
11. Смешанное произведение трех векторов =	=
12. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю их сме –шанного произведения
13. Векторы называются компланарными, если они лежат или параллельны одной плоскости	, и компланарны тогда и только тогда, когда =0
14. Перпендикулярность (ортогональность) векторов
15. Параллельность (коллинеарность) векторов
16. Направляющие косинусы вектора - угол между и положительным направлением оси ОХ, - между и положительным направлением оси ОY, - между и положительным направлением оси OZ
17. Орт вектора ( )- единичный вектор того же направления, что и вектор
18. Координаты точки С – середины отрезкаАВ	, ,

 

Прямая и плоскость в пространстве

 

1.Уравнение плоскости, проходя-щей через точку перпендикулярно вектору , нормальный вектор
2.Общее уравнение плоскости
Пусть - нормальный вектор плоскости , а - нормальный вектор плоскости , тогда имеют место соотношения
3. Перпендикулярность плоскостей
4. Параллельность плоскостей
5. Угол между плоскостями ^	^ = ^
6. Расстояние от точки до плоскости
Пусть прямая проходит через точку параллельно век-тору , ( направляющий вектор прямой ), тогда
7. Канонические уравнения прямой
8. Параметрические уравнения прямой
Пусть - направляющий вектор прямой , а - прямой , тогда имеют место соотношения:
9. Параллельность прямых
10. Перпендикулярность пря-мых
11. Угол между прямыми	^ = ^