Векторы, линейные операции над векторами. Координаты вектора, аналитическое выражение длины и направление вектора

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат на плоскости. Единичный вектор оси обозначим , единичный вектор оси обозначим . Таким образом, и . Говорят, что векторы образуют ортонормированный базис на плоскости.

Любой вектор можно выразить через вектора , то есть представить в виде . Это представление называется разложением вектора по базису . Числа называются координатами вектора в базисе .

Любые два непараллельных вектора и образуют базис на плоскости и любой третий вектор может быть разложен по этому базису, то есть представлен в виде .Числа называются координатами вектора в базисе .

Пример.Проверить, что векторы и образуют базис и разложить вектор по этому базису.

Векторы параллельны, если их координаты пропорциональны:

координаты не пропорциональны, значит, векторы и непараллельны, то есть образуют базис.

Найдем числа такие, что .

Векторы слева и справа равны, значит, равны их координаты:

Задание 1.Проверить, что векторы , , образуют базис и разложить вектор по этому базису.

Три вектора в пространстве образуют базис, если они не компланарны. Условие компланарности выглядит следующим образом:

Векторы компланарны

Проверим:

векторы образуют базис.

Разложим вектор по этому базису, то есть найдем числа такие, что

.

Раскрывая скобки, получим

Приравнивая соответствующие координаты, получим систему уравнений, которую решаем, например, методом Крамера:

Значит,

1. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов и называется число

.

Здесь - угол между этими векторами, - длины векторов.

Скалярное произведение позволяет:

1. Находить угол между векторами по формуле

1. Находить проекцию вектора на вектор по формуле

1. Проверять, будут ли векторы перпендикулярны, так как

Пусть в ортонормированном базисе заданы векторы и .

Тогда длина (модуль) вектора находится по формуле , а скалярное произведение

Пример.

Найти расстояние между точкой и точкой .

Запишем координаты вектора : , значит,

Находим длину этого вектора:

Пример.

Проверить, будут ли векторы и перпендикулярны.

Для проверки перпендикулярности надо найти скалярное произведение.

Значит,

Задание 2.В треугольнике АВС найти периметр, косинус угла при вершине В и проекцию

вектора на вектор .

Треугольник задан вершинами

Найдем координаты векторов , и :

, . Тогда ,

, .

Значит, периметр треугольника равен .

Найдем угол при вершине В:

Найдем проекцию: