Векторы на плоскости и в пространстве

Лекция 3. Векторы. Системы линейных уравнений.

Векторы

Цельизучения темы состоит в обобщении понятия вектора, с которым студенты знакомы по школьной программе и расширение ее систематического кругозора.

 

Векторы на плоскости и в пространстве.

Вектор– это направленный отрезок . Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора (рис. 3.1.1). Можно использовать обозначение .

Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине вектора. Обозначается модуль вектора символом или . Если модуль вектора , вектор называется нулевым; направление нулевого вектора произвольно.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (или лежат на одной прямой), в этом случае пишут . Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Два вектора равны, то есть , если выполняется три условия: ; и и одинаково направлены.

Произведением вектора ā на число (скаляр) λ называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: , векторы и сонаправлены, если и направлены в противоположные стороны, если . Если , вектор называется противоположным вектору .

Таким образом, условие является достаточным для коллинеарности вектором и ;

Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольника) (см. рис. 3.1.2).

Так как вектор , то для получения суммы двухвекторов можно использовать правило параллелограмма: суммой двух векторов является вектор-диагональ параллелограмма, построенного на векторах и , выходящий их общего начала обоих векторов-слагаемых.

Сумма нескольких векторов находится по правилу многоугольника: чтобы найти сумму нескольких векторов ,нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего; тогда вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего называется суммой всех данных векторов (рис. 3.1.3).

Разностьюдвух векторов называется сумма . Если вектор , то по аналогии с суммой двух векторов этот вектор является диагональю параллелепипеда, построенного на трех векторах как на сторонах (рис. 3.1.4).

Рассмотрим вектор в плоскости. Перенесем в начало координат системы хОу.

Получим вектор . Координатами вектора называются координаты точки М(х;у). Введем на осях координат векторы i и j – единичной длины (рис. 3.1.5).

Очевидно, или или . Если вектор рассматривается в трехмерном пространстве, где точка М характеризуется тремя координатами, то есть M(x,y,z), то вектор можно представить в виде:

xi yj zk, (3.1.1)

где i, j, k – единичные векторы, лежащие на осях координат. Пусть , . Найдем сумму и разность этих векторов:

(3.1.2)

или

Сложение векторов и умножение вектора на скаляр подчиняется следующим свойствам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Доказательства вытекают на основании (3.1.2).

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число равно произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть . (3.1.3)

 

Из (3.1.3) вытекают свойства скалярного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) если , то .

Используя свойства скалярного произведения, можно найти скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Если , , то ; если - условие перпендикулярности векторов.

Если векторы коллинеарны, то есть , то - условие коллинеарности векторов.

 

Понятие n-мерного вектора. Векторное пространство. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов.

Понятие вектора можно обобщить.

Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х₁, х₂,…, х_n), х_i – компоненты вектора Х.

 

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике. Например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены – вектором .

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: , .

По аналогии с геометрическими векторами вводятся: сумма векторов с компонентами , ; разность векторов с компонентами , , с теми же свойствами.

Скалярное произведение n-мерных векторов:

.

Если X - набор товаров, а Y - соответствует ценам за единицу каждого товара, то стоимость всем товаров:

.

Определение.Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения (вычитания) и умножения вектора на скаляр, удовлетворяющего приведенным выше свойствам называется векторным пространством.

Определение.Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства, если

, (3.1.4)

где - любые действительные числа.

 

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация .

В противном случае векторы ( ) называются линейно независимыми.

Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражается через остальные. Покажем это. Пусть векторы ( ) линейно зависимы, то есть

и , тогда

Верно и обратное утверждение: если один из векторов выражается через остальные, то все векторы в совокупности линейно зависимы.

Для векторного пространства имеет место следующее свойство: если среди m векторов какая-то часть векторов являются линейно зависимыми, то все m векторов линейно зависимы.

Определение.Векторное пространство называется n-мерным, если в нем существует ровно n линейно независимых векторов, а любые из ( ) векторов уже линейно зависимы. Это число n называется размерностью пространства.

Определение.Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется базисом.

Для базисных векторов принято обозначение .

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый вектор Х векторного пространства можно представить, причем единственным образом, как линейную комбинацию базисных векторов , то есть . ( 3.1.5)

Доказательство.Пусть векторы образуют некоторый базис n-мерного пространства. Тогда с любым вектором добавленным ( )-м вектором Х получаем совокупность линейно зависимых векторов. Это означает, что ( ), следовательно

Обозначим , откуда , что и требовалось доказать. Можно доказать, что полученное разложение является единственным.

 

Пример. Даны векторы е₁ , е₂ , е₃ , . Разложить вектор по базисным векторам : запишем разложение вектора . Перейдем к координатной форме

Перейдем к системе уравнений

Решив систему любым методом (например, методом Крамера), получим ее решение: , , . Разложение вектора по базису имеет вид .

 

Собственные векторы и

собственные значения матрицы.

Определение.Вектор называется собственным вектором квадратной матрицы , если существует такое число λ, что выполняется условие . (3.1.6)

Число λ называется собственным значением (числом) матрицы, соответствующим вектору Х.

 

Из определения следует, что при умножении матрицы А на вектор Х получается вектор, коллинеарный вектору Х.

Равенство (3.6) перепишем в матричной форме.

,

тогда равенство (3.1.6) переходит в систему линейных уравнений

или (3.1.7)

 

В матричной форме система (3.1.7) имеет вид .

Чтобы однородная система (3.1.7) (или матричное уравнение (3.1.6)) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель , то есть

(3.1.8)

 

Определитель представляет собой многочлен n-ой степени относительно λ. Он называется характеристическим многочленом матрицы А,а уравнение (3.1.8) характеристическим уравнением матрицы А.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение.Составим характеристическое уравнение

или

Находим собственные векторы (см. )

а) для собственного числа

Оба уравнения совпадают. Одно следует отбросить. Система имеет бесчисленное множество решений. Положив , получаем . Собственному значению соответствует собственные векторы .

б) Аналогично находится вторая совокупность собственных векторов .

В частности, это могут быть векторы и .