Криволинейные интегралы

Двойные и тройные интегралы

Двойной интеграл.

п.1 Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области плоскости задана положительная непрерывная функция .

Определение: Часть пространства, ограниченная снизу замкнутой областью , сверху поверхностью , с боков цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющий служит контур области , называется цилиндрическим телом.

Найдем объем данного цилиндрического тела.

Разобьем область на элементарных областей , площадь которых обозначим через , а диаметры

 

 

В каждой области выберем произвольную точку , найдем значение функции в этой точке .

Рассмотрим цилиндрические столбики с основанием , ограниченные сверху кусками поверхности .

 

 

В своей совокупности они составляют тело . Объем цилиндрического столбика приближенно равен , а объем цилиндрического тела: (1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции в области .

Равенство (1) тем точнее, чем больше и чем меньше размеры элементарных областей . Если неограниченно возрастает, то за объем цилиндрического тела можно будет принять предел интегральной суммы:

Определение: Если существует , то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается , т.е. .

- интегрируемая функция в области ,

- область интегрирования,

и - переменные интегрирования,

или - элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл?

Теорема 1 (достаточное условие интегрируемости функции)

Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Если при любых , то - площадь области .

Рассмотрим задачу на нахождение массы плоской пластинки. Пусть требуется найти массу плоской пластинки , зная ее поверхностную плотность . Функция - непрерывна в каждой точке области .

Разобьем пластинку на элементарных частей с площадями . В каждой области возьмем произвольную точку и вычислим в ней плотность . Если в области достаточно малы, то плотность можно считать постоянной и равной , а массу данной области .

Тогда масса всей пластинки будет приближенно равна .

Точное значение массы пластинки получим при условии, что : или .

Итак, двойной интеграл от функции численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию считать плотностью этой пластинки в точке . В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

 

п. 2 Основные свойства двойного интеграла

1. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла .

2. Если функция и интегрируемы в области , то .

3. Если область , то .

4. Если в области имеет место неравенство , то .

5. Если в области , то .

6. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то , где и - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

7. .

8. Теорема о среднем

Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что . Величину называют средним значением функции в области .

п. 3 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области . Как известно, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела. Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений:

, где - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а , - уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.

Пусти область представляет криволинейную трапецию, ограниченную прямыми и , кривыми и , причем функции и непрерывны и для . Область правильная в направлении оси .

Постоим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси : , где .

В сечении получим криволинейную трапецию , ограниченную линиями , где , , и .

Площадь данной трапеции находим с помощью определенного интеграла .

Согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

.

Объем цилиндрического тела можно вычислить с помощью двойного интеграла . Следовательно, .

Данное равенство можно записать в идее:

(2)

Правую часть формулы (2) называют двукратным или повторным интегралом от функции по области .

Интеграл называют внутренним интегралом.

При вычислении двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, а затем внешний интеграл, результат внутреннего интеграла интегрируем по переменной в пределах от до .

Если область ограничена прямыми и , кривыми и , причем для всех , т.е. область - параллельная в направлении оси , то

(3)

В данном случае, при вычислении внутреннего интеграла, считаем постоянным.

Нужно помнить, что пределы внешнего интеграла всегда постоянны.

Пример 1. Вычислить , где область ограничена линиями , , .

Решение. Изобразим область интегрирования

 

 

Найдем точку пересечения кривых и :

, , и

Тогда и . Нашей области принадлежит точка .

Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой (3), т.е. спроектируем область на ось в отрезок , тогда и .

При вычислении данного интеграла по формуле (2) нужно область разбить прямой на две область и , тогда .

Область проектируется на ось в отрезок , а область - в отрезок .

Получили тот же результат.

Если область является правильной, т.е. всякая прямая параллельная любой оси координат, пересекает границу области не более чем в двух точках, то , т.е. двойной интеграл не зависит от порядка интегрирования.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое интегральная сумма для функции по области ?

2. Что называется двойным интегралом от функции по области ?

3. Геометрический смысл двойного интеграла.

4. Физический смысл двойного интеграла.

5. Какая область называется правильной в направлении оси , а какая – в направлении оси .

6. Как вычислить двойной интеграл в декартовых координатах?

7. Как изменить порядок интегрирования в двойном интеграла?

Задание.

1. Вычислить , где - внутренность треугольника с вершинами , , .

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .

Литература:

1. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления» ч.2., гл. XIV, § 1 – 3.

2. П.Е. Данко «Высшая математика в упражнениях и задачах» ч.2., гл. I, § 1.

п 4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, т.е. вводят новые переменные под знак двойного интеграла.

Пусть , , причем данные функции имеют непрерывные частные производные первого порядка в области плоскости и отличный от нуля определитель

(4)

Функция непрерывна в области . Тогда справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

(5)

Определитель называется определителем Якоби (немецкий математик) или Якобианом.

Чаще всего при вычислении двойного интеграла переходят к полярным координатам , .

Вычислим Якобиан перехода к полярным координатам

.

Тогда

(6),

Где - область интегрирование в полярной системе координат.

 

 

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведение его к двукратному интегралу.

Пусть область ограничена лучами и , кривыми и . Если луч , выходящий из полюса пересекает границу области не более чем в двух точках, то область - правильная.

(7).

При вычислении внутреннего интеграла считаем постоянным.

Замечание. Переход к полярным координатам полезен тогда, когда область интегрирования есть круг или его часть и когда подынтегральная функция содержит выражение .

Пример. Вычислить двойной интеграл , если область ограничена полуокружностью и осью .

Решение.

1. Изобразим область

2. Перейдем к полярным координатам , , .

3. Найдем пределы интегрирования: , .

4. Вычислим интеграл

Пример. Вычислить , если область ограничена окружностью .

п 5. Приложение двойного интеграла.

1. Объем тела. Объем цилиндрического тела находится по формуле , где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

2. Площадь плоской фигуры. Если подынтегральная функция , то получим формулу для вычисления площади плоской области :

.

В полярных координатах

.

2^’. Вычисление площади поверхности.

1. Если гладкая поверхность задана уравнением , то площадь поверхности выражается формулой ,

где - проекция данной поверхности на плоскость .

2. Если гладкая поверхность задана уравнением , то ,

где - проекция данной поверхности на плоскость .

3. Масса плоской пластинки

.

4. Статистические моменты и координаты центра тяжести плоской пластинки.

Статистические моменты относительно осей координат:

, .

Координаты центра тяжести

, .

5. Моменты инерции плоской фигуры.

Моментом инерции математической точки массы на квадрат распределения точки до оси:

.

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:

,

.

Момент инерции относительно начала координат:

.

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , , .

Решение. Изобразим тело, объем которого нужно вычислить.

 

 

Найдем объем тела по формуле :

Пример. Найти площадь пластинки, ограниченной линиями , .

Решение. Изобразим область :

 

 

Найдем точки пересечения кривых:

;

.

Область проектируется на ось в отрезок .

Площадь вычислим по формуле :

Пример. Вычислить площадь части поверхности , вырезанной цилиндром и расположенной в I октанте.

Пример. Найти координаты центра тяжести плоской пластинки, ограниченной линиями , , , .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое Якобиан перехода и чему он равен в полярных координатах?

2. Выражение двойного интеграла в полярных координатах.

3. Как вычислить объем цилиндрического тела?

4. Как вычислить площадь плоской пластинки?

5. Как найти площадь поверхности?

6. Как вычислить массу пластинки?

7. Как найти координаты центра тяжести пластинки?

8. Как найти моменты инерции плоской фигуры относительно осей и ?

 

Тройной интеграл.

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является тройной интеграл.

Пусть в замкнутой области пространства задана непрерывная функция . Разобьем область сеткой поверхностей на частей и выберем в каждой из них произвольную точку . Составим интегральную сумму для функции по области .

Если существует предел интегральной суммы при , то этот предел называют тройным интегралом от функции по области и обозначают или .

Т.о. .

- элемент объема.

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной области , то предел интегральной суммы существует при и и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл.

1. , - .

2. .

3. . .

4. Если в области , то .

5. Если во области , то и .

6. Если , то .

7. , где и - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области .

8. Теорема о среднем: если функция непрерывна в замкнутой области , то в этой области существует такая точка , что , где - объем тела.

п 6. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть областью интегрирования является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху - поверхностью , причем , - непрерывные функции в замкнутой области и .

- проекция тела на плоскость .

Область называется правильной в направлении оси , если любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках.

 

 

Тогда, если непрерывна в области , то имеет место формула

.

При этом, сначала вычисляется интеграл по переменной при постоянных и , а затем двойной интеграл. Нижней границей является аппликата точки входа в область , верхней границей аппликата точки - точка выхода прямой из области .

Результатом вычисления есть функция двух переменных и .

Если область ограничена линиями , , , и , где и - непрерывные на отрезке функции, причем , то переходя от двойного интеграла по области к повторному, получим формулу:

Порядок интегрирования может быть изменен.

Пример. Вычислить , где - ограничена плоскостями , , , .

Решение.

 

 

Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяются метод подстановки: , , . Если данные функции имеют непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель , то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

.

- якобиан преобразования.

1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

Положение точки в пространстве можно определить заданием трех чисел , , , где - длина радиус-вектора проекции точки на плоскость , - угол, образованный этим радиусом-вектором с осью , - аппликата точки .

- цилиндрические координаты точки .

, причем , , .

Якобиан преобразования:

.

Формула замены переменных примет вид:

.

Замечание. К цилиндрическим координатам переходят в том случае, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Пример. Вычислить , где - область, ограниченная верхней частью конуса и плоскостью .

Решение.

 

2. Тройной интеграл в сферических координатах.

 

 

Пусть в пространстве задана точка . Положение точки можно задать координатами