Определения и свойства групп

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1[1] Алгебраической n-местной операцией на множестве ( Ø) (или законом композиции) называется правило (закон), по которому каждой упорядоченной -ке элементов множества ставится в соответствие единственный элемент из того же множества , , где - результат операции.

Операции в математике обозначаются символами: , , *, :, ×, +,0,… Если , то операция называется бинарной, при - унарной.

Существует много определений группы. Каждое определение отражает некоторое направление в теории групп. Ближе по духу теории сравнений в группах следующее определение, связанное с решением уравнений, а уравнение (в нашем понимании) – это сравнение относительно отношения равенства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2 [2] Группой называется непустое множество с одной основной бинарной алгебраической операцией «×», которая удовлетворяет следующим двум аксиомам:

1) - ассоциативность операции «×»;

2) ( & )– уравнения (сравнения) , относительно переменных разрешимы в , т. е. существуют их решения Æ, Æ в , где & - знак конъюнкции(«и»).

Эти решения могут оказаться различными. Для операции «×» в общем случае не выполняется закон коммутативности

. (1)

Если в группе имеет место формула (1), то группа называется абелевой (в честь норвежского математика Н. Г. Абеля(1802-1829)) или коммутативной.

Будем пользоваться мультипликативной записью операции и соответствующей терминологией. В дальнейшем знак операции «×» опускаем (сохраняя терминологию), что согласуется с принципом экономии и целесообразностью. В тексте мы используем выразительные возможности языка прикладного исчисления предикатов, а также язык теории множеств [1, 2]. Это помогает нам детализировать рассуждения и придавать доказательствам и формулировкам утверждений более компактный и завершенный вид, а это (в свою очередь) позволяет символизировать теорию. Алгебра предикатов (в отличии от алгебры высказываний) за счет анализа субъектно-предикатной структуры высказывательных форм обладает большими выразительными возможностями, что позволяет средствами ее языка полнее отразить закономерности логического мышления, а это способствует более глубокому проникновению в суть вопроса.

Ниже изложены свойства, вытекающие из приведенных выше аксиом группы.

СВОЙСТВО 1. В группе верна формула

, (2)

т. е. элементы группы обладают правым нейтральным элементом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произведение , где - произвольный элемент группы , а . Существование такого х обеспечено аксиомой 2) (1.1.2). Тогда . Отсюда .

Свойство доказано.

СВОЙСТВО 2. В группе верна формула

, (3)

т. е. элементы группы обладают левым нейтральным элементом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произведение . Так как , при b=a, то и . Таким образом, .

Свойство доказано.

СВОЙСТВО 3. Группа обладает единственным нейтральным элементом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем, что (см. Свойства 1 и 2). Действительно, очевидно и , поскольку - левый нейтральный элемент группы . С другой стороны , поскольку - правый нейтральный элемент группы . Таким образом, = е и

. (4)

Далее, установим единственность в группе нейтрального элемента . Предположим, что и , причем . Из равенств следует, что . Противоречие.

Свойство доказано.

СВОЙСТВО 4. В группе каждый элемент обладает единственным обратным (симметричным) элементом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . Очевидно, уравнения , разрешимы в группе . Пусть , - решения соответствующих уравнений, т. е. . Докажем, что . Предположим, что . Рассмотрим элемент , . Отсюда следует, что =а^-1. Противоречие. Таким образом

(5)

Свойство доказано.

СВОЙСТВО 5. В группе каждое уравнение (сравнение) , имеет единственное решение.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, элемент есть решение уравнения ,так как при подстановке его в уравнение вместо переменной будем иметь (т. е. ). С другой стороны, если предположить, что элемент , т. е. , то (формула(5)). Таким образом, , т. е. других решений уравнения (кроме ) в группе нет. Аналогично устанавливается, что элемент является единственным решением уравнения .

Свойство доказано.

СВОЙСТВО 6 (Закон сокращения). В группе верна формула

, (6)

где « » - знак дизъюнкции(«или»).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть - верное равенство в . Рассмотрим решение уравнения на элементах группы относительно переменной . Очевидно, . Так как единственно в (Свойство 5), то . Если же , то рассмотрев уравнение , получим, что . В силу Свойства 5, .

Д о с т а т о ч н о с ть. Так как , то из равенства , очевидно, следует равенство . Аналогично из равенства следует, что .

Свойство доказано.

Таким образом, вышеперечисленные свойства есть свойства коэффициентов указанных уравнений, а вместе с этим характеризуются свойства ассоциативной операции элементов множества G.

Дадим еще одно определение группы, которое, как будет показано, выводится из ранее приведенного.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3[2] Группой называется непустое множество , на котором определена бинарная алгебраическая операция «×» и унарная алгебраическая операция « ». Бинарная операция удовлетворяет следующим (аксиомам) условиям:

1) - ассоциативность операции «×»;

2) - наличие нейтрального элемента (левого, правого);

3) - наличие обратного (симметричного) элемента (левого, правого) элементу в .

Установим равносильность приведенных определений группы. Пусть группа определена аксиомами 1),2),3) (Определение 1.1.3). Далее, докажем, что уравнения и разрешимы в группе . По аксиоме 3) такой, что . В группе рассмотрим элементы и , где . Очевидно, и , т.е. и удовлетворяют уравнениям , соответственно. Таким образом, уравнения , разрешимы в . Очевидно, приведенные системы аксиом группы эквивалентны. В зависимости от ситуации, в дальнейшем мы будем пользоваться любой из приведенных систем аксиом и вытекающими из них свойствами. Заметим, что всегда

, (7)

так как .

Аксиома ассоциативности часто используется в формально более сильном виде, чем 1) (см. Определение 1.1.2). Она позволяет опускать скобки и вместо или писать просто . Эта же аксиома позволяет по индукции доказать, что произведение нескольких сомножителей в группе при заданном порядке множителей не зависит от способа расстановки скобок. Этим придается однозначный смысл записи степени , где , а - целый положительный показатель. Удобно считать, что , а для отрицательных целых показателей по соглашению . Равенства и очевидные для положительных показателей, также справедливы в группе для любых целых .

Далее отметим, что группа называется конечной, если конечное число всех ее элементов, т. е. множество конечно. В противном случае группа называется бесконечной. Число элементов конечной группы называют ее порядком и пишут .

Говорят, что группа - группа без кручения, если любой ее неединичный элемент имеет бесконечный порядок. Если же напротив, порядки всех элементов группы конечны, то такая группа называется периодической. Группа, содержащая неединичные элементы как конечного, так и бесконечного порядка, называется смешанной. Если же порядки элементов периодической группы ограничены в совокупности, то их наименьшее общее кратное называется периодом (показателем) группы.