I. НОСИТЕЛИ ПРОСТРАНСТВ

Введение

Физикам интересна Природа, им интересны первопричины появления Мира, то есть что произошло “при родах” Вселенной, и по каким законам она развивается. Они полагают, что всё подчиняется вполне определённым законам, и мы их поймём, не обращаясь к внешним источникам, которых просто нет. Но глаза физики это математика. Поэтому важно понять, как устроен этот инструмент, чтобы знать, где мы видим “ то, что есть”, а где миражи и иллюзии.

Математики ищут общие конструктивные принципы, позволяющие с единых позиций понять, как устроена математика, благодаря которой мы и смотрим на Вселенную, если наши мозги работают логично. Та “реальность”, которую изучают математики, включает в себя все возможные с математической и логической точки зрения Вселенные. Во многом прав Г.В. Лейбниц, который назвал математику физикой возможных Миров. Одна из главных конструктивных идей, позволяющих обосновать математику, это идея сходимости, которая опирается на идею бесконечности. Собственно говоря, функциональный анализ это песнь о сходимости. Всё остальное реквизит (requisitum (лат.) необходимое) для её исполнения.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Бронштейн Е.М. Основы функционального анализа. Уфа: УГАТУ, 2004.- 62 с.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Наука, 1984.

3. Князев П.Н. Функциональный анализ. Минск, «Вышэйшая школа»,1985.

4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, 2002.

5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. Высшая школа, 1982.

6. Ольховой А.Ф. Введение в функциональный анализ. Таганрог, 2011.-146с.

7. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. М., Изд. МАИ. 1996.

8. Садовничий В.А. Теория операторов. М., Высшая школа, 1999.

9. Треногин В.А. и др. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М., Мир, 1984.

10. Треногин В.А. Функциональный анализ. Высшая школа, 2002.

11. Функциональный анализ. Под редакцией С.Г. Крейна. М., Наука, 1964.

I. НОСИТЕЛИ ПРОСТРАНСТВ

 

Никто не сможет изгнать нас из рая, который

создал для нас Георг Кантор!

Д.Гильберт

Теория Кантора в целом является патологическим казусом

в истории математики, от которого грядущие поколения придут в ужас.

Л.Брауэр

 

 

1. ВВЕДЕНИЕ. ГЛАВНЫЕ ПЕСНИ О СТАРОМ

 

Всё не так просто, как кажется. И даже просто не так.

Алекс Алдер

1. МНОЖЕСТВА

Определение 1. Множество – совокупность элементов, связанных между собой определёнными отношениями,а с элементами других множеств определёнными соответствиями.

Замечание. “Множество есть многое, мыслимое как единое целое” (Г. Кантор –создатель теории множеств).

Определение 2.Задать множество – указать эффективное и недвусмысленное правило, с помощью которого о любом элементе можно сказать: является ли он элементом данного множества.

Комментарий. Эффективность правила означает, что результат его применения достижим за конечное время.

Пример.Множество красивых девушек не является множеством нет определения красоты.

Задать множество можно перечислением его элементов (для конечных множеств) или указанием характеристического свойства , то есть такого свойства, которым обладают все элементы задаваемого множества и не обладают никакие элементы никаких других множеств. Обычно множество выделяется из более общего множества, которое называется UNIVERSUM (вселенная) и обозначается буквой U.

На универсуме Uмножества обозначаются кругами, которые называются кругами Эйлера. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита, элементы – соответствующими маленькими (рис.1).

Рис.1Hhhfghfutu6uu1111111111111111111

 

 

Знак означает принадлежность и применяется для элементов, – не принадлежать, – принадлежать для множеств. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Комментарий. Пустое множество единственно. В самом деле, пусть существуют два разных пустых множества. Это значит, что в одном из них найдется элемент, который не принадлежит другому. Но в пустых множествах нет элементов!

Определение 3.Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначается .

Пример. ; но , так как единственным элементом множества является упорядоченная пара , а множество состоит из двух элементов: 1 и 2, и, наконец, это три разных множества.

Определение 4. Множество есть подмножество множества , если справедливо . Обозначается: . Говорят, что множество строго включено во множество , если справедливо, что , но .

Комментарий. В функциональном анализе очень часто тот факт, чтомножество есть подмножество множества обозначают .

Определение 5. , если и (т.е. они состоят из одних и тех же элементов).

Пример. , так как единственным элементом множества является множество .

Определение 6.Рассмотрим множество всех подмножеств конечного множества , то есть содержит пустое множество и само множество . Эти подмножества называются несобственными, а остальные собственными (собственно говоря, они и есть нетривиальные подмножества).

Пример.Пусть , тогда .

Рис. 2

Определение 7.Объединением множеств и ( (читается чашка ) называется новое множество , элементами которого являются элементы множества или элементы множества : (рис.2).

Комментарий. Слово “или” употребляется в неразделительном смысле и обозначается значком , который называется дизъюнкция (от лат. disjunctio – разобщение, различие). Тогда .

Аналогично даются определения остальных операций над множествами. Мы их просто выпишем.

Рис. 3

Определение 8. Пересечение: (читается крышка ).

(рис.3). Слово “и” обычно заменяют значком - “конъюнкция” (от лат. conjunctio – союз, связь), и тогда множество описывается так: .

 

Рис. 4

Определение 9. Разность: (рис. 4) - все те элементы множества , которые не являются элементами множества .

Определение 10. Симметрическая разность (дизъюнктивная сумма):

Рис. 5

(рис.5).

Рис.6

Определение 11.Дополнениеммножества до универсума называется множество, состоящее из всех тех элементов универсума, которые не являются элементами множества (рис. 6). Обозначают .

Определение 12.Функция называется характеристической функцией множества .

Легко составить характеристические функции для всех перечисленных операций. Они называются таблицами Буля. С их помощью легко доказываются свойства операций над множествами.

 

 

U