Линейные операции над векторами

Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 1.5. Векторы

План:

1. Основные определения

2. Линейные операции над векторами

3. Проекция вектора на ось

4. Формула для вычисления координат вектора

5. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами

6. Деление отрезка в заданном отношении

7. Направляющие косинусы

8. Скалярное, векторное и смешенное произведения векторов

Основные определения

Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек, про которые известно, какая из них первая (начало), а какая вторая (конец).

Обозначается вектор: или , где А – начало вектора, В – его конец (рис. 1).

Рис. 1 Коллинеарные векторы

В определении вектора ничего не сказано о точке его приложения, следовательно, она не фиксирована, и вектор можно перенести в любую точку пространства параллельно самому себе, сохраняя его направление.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (модулем или абсолютной величиной) и обозначается

или .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (см. рис. 1, б, в, г) в противном случае векторы называются неколлинеарными.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях, в противном случае векторы некомпланарны.

На рис. 2 а) показаны компланарные векторы .

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют равные длины.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором .

Нулевому вектору можно придать любое направление. Очевидно, что нулевой вектор – это точка, .

Рис. 2. Компланарные векторы. Операции над векторами

Линейные операции над векторами

К линейным операциям относятся сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов и называется вектор , направленный из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало

вектора совпадает с концом вектора (рис. 2, б): .

Можно показать, что если векторы и неколлинеарны, то вектор - диагональ параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к одному началу (см. рис. 2, в).

Можно найти сумму любого конечного числа векторов, если каждый последующий слагаемый вектор будет выходить из конца предыдущего (рис. 2, г). Так, например, суммой векторов будет замыкающий вектор , направленный из начала вектора в конец последнего вектора .

Произведением вектора на действительное число l называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого равна , а направление совпадает с , если l > 0 и противоположно , если l < 0. (Если l = 0, то ).