Равновесие тела при наличии трения качения

Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная активная сила ; кроме нее, действуют силы тяжести , а также нормальная реакция и сила трения . Как показывает опыт, при достаточно малой величине силы цилиндр остается в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. Согласно этой схеме равновесие невозможно , так как главный момент всех сил, действующих на цилиндр , отличен от нуля и одно из условий равновесия не выполняется.

Причина выявившегося несоответствия состоит в том, что в наших рассуждениях мы продолжаем пользоваться представлением об абсолютно твердом теле и предполагаем касание цилиндра с поверхностью, происходящим по образующей. Для устранения отмеченного несоответствия теории с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскость вблизи точки С деформируются и существует некоторая площадь соприкосновения конечной ширины. Вследствие этого в ее правой части цилиндр прижимается сильнее, чем в левой, и полная реакция приложена правее точки С (точка ).

Полученная теперь схема действующих сил статически удовлетворительна, так как момент пары может уравновеситься моментом пары . Считая деформацию малой, заменим эту систему сил системой, изображенной на рис. В отличие от первой схемы, к цилиндру приложена пара сил с моментом

. (6.11) Этот момент называется моментом трения качения.

Составим уравнения равновесия цилиндра:

,

, (6.12)

.

Первые два уравнения дают , , а из третьего уравнения можно найти . Затем из (6.11) определяем расстояние между точками С и :

. (6.13) Как видно, с увеличением модуля активной силы растет расстояние . Но это расстояние связано с площадью поверхности контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличиваться. Это значит, что наступит такое состояние, когда увеличение силы приведет к нарушению равновесия. Обозначим максимально возможную величину буквой . Экспериментально установлено, что величина пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов.

Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие

. (6.14)

Величина называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины.

Условие (6.14) можно также записать в виде

,

или, учитывая (6.12),

. (6.15)

Очевидно, что максимальный момент трения качения пропорционален силе нормального давления.

В справочных таблицах приводится отношение коэффициента трения качения к радиусу цилиндра для различных материалов.

Задача 6.8.На наклонной плоскости находится цилиндр. Найти, при каких углах наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии, если – радиус цилиндра, – коэффициент трения скольжения, – коэффициент трения качения.

Составим уравнения равновесия:

,

,

.

Кроме того, должны выполняться неравенства

, .

Из первых двух уравнений мы можем определить , , ; подставив эти величины в последние два неравенства, получим

, (6.16)

. (6.17)

Эти неравенства должны удовлетворяться одновременно. В тех случаях, когда , потеря равновесия происходит путем перехода к качению, так как сначала нарушится неравенство (6.17); если же , то нарушится неравенство (6.16) и цилиндр начнет скользить.

Глава 7