Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю

Достаточность этих условий вытекает из того, что при F_О=0 система сходящихся сил, приложенных в центре приведения О, эквивалентна нулю, а при М_О=0 система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.

Докажем необходимость этих условий. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что в нашем случае система сил Qи Р должна быть эквивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и, кроме того, должно выполняться равенство Q= –Р. Но в рассматриваемом нами случае это может быть, если линия действия силы Р проходит через точку О, т.е. если h=0. А это означает, что главный момент равен нулю (М_О=0). Далее, так как Q+Р=0, а Q = F_О+Р', то F_О+Р'+Р=0, и следовательно, F_О=0.

Итак, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил будут иметь вид

F_О=0, М_О =0 (4.15) или в проекциях на координатные оси,

(4.16)

(4.17)

Таким образом, при решении задач о равновесии пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, мы имеем возможность из уравнений (4.16) и (4.17) определить шесть неизвестных величин.

Замечание. О невозможности приведения пары сил к равнодействующей.Проведем доказательство от противного. Пусть пара сил (F₁,F'₁) приводится к равнодействующей R, приложенной к какой-либо точке А тела. Тогда эта сила и силаR'(R'= – R), приложенная к точке А, эквивалентны нулю. На основании только что доказанного главный вектор и главный момент этой системы должны быть равны нулю. Примем за центр приведения точку А, тогда главный момент М_А≠0 и равен моменту пары (F₁,F'₁); главный вектор тоже не равен нулю (F_А=R'≠0). Следовательно, предположение о существовании равнодействующей для пары сил несправедливо.

Уравнения равновесия для более частных систем сил могут быть получены из уравнений (4.16) и (4.17).

1. Равновесие пространственной системы параллельных сил.

Направим ось z параллельно линиям действия сил. Тогда проекция сил F_k на оси х и у равны нулю (F_kх≡0, F_kу≡0) и остается удовлетворить только одному из уравнений группы (4.16):

F_Оz=ΣF_kz=F_1z +F_2z+ … + F_пz=0. (4.18)

Во второй группе уравнений (4.17) последнее выполняется тождественно, так как силы параллельны оси z (М_Оz(F_k)≡0), и остаются только уравнения:

М_Ох =∑М_Ох(F_k)=М_Ох(F₁)+ М_Ох(F₂)+ … + М_Ох(F_п)=0, (4.19)

М_Оу =∑М_Оу(F_k)=М_Оу(F₁)+ М_Оу(F₂)+ … + М_Оу(F_п)=0.

2. Равновесие плоской системы сил.

Для плоской системы сил из уравнений первой группы останутся два уравнения:

F_Ох=ΣF_kх=F_1х+F_2х+ … + F_пх=0,

F_Оz=ΣF_kz=F_1z +F_2z+ … + F_пz=0. (4.20)

Из уравнений второй группы два первых удовлетворяются тождественно, так как силы лежат в одной плоскости с осями х и у. Остается только третье уравнение:

М_Оz =∑М_Оz(F_k)=М_Оz(F₁)+ М_Оz(F₂)+ … + М_Оz(F_п)=0. (4.21)

3. Равновесие плоской системы параллельных сил.

Условие равновесия для этого частного случая следует из уравнений (4.20) и (4.21). Направим ось у параллельно линиям действия сил.

Тогда первое из уравнений (4.20) удовлетворяется тождественно (для любой системы параллельных сил на плоскости) и остаются только два уравнения равновесия:

F_Оу=∑F_kу=F_1у +F_2у+ … + F_пу=0,

М_Оz= ∑М_Оz(F_k)=М_Оz(F₁)+ М_Оz(F₂)+ … + М_Оz(F_п)=0. (4.22)

Напомним, что при составлении уравнений равновесия за центр приведения может быть выбрана любая точка.

Глава 5. Плоская система сил