Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по квантовым состояниям подчиняется принципу Паули. Следовательно, по квантовой теории электроны в металле не могут располагаться на низшем энергетическом уровне даже при 0К. Принцип Паули заставляет электроны подниматься вверх по "энергетической лестнице".

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если - химический потенциал электронного газа при Т=0К, то:

Отсюда следует, что при Т=0К <N(E)> =1 (<N(E)> - среднее число электронов в квантовом состоянии на уровне с энергией Е), если E £ m₀ и <N(E)> = 0, если E>m₀ , рис.64. Это означает, что при Т=0 все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией Е = m₀ ,заполнены электронами, а все состояния с Е > m₀ свободны. Следовательно, m₀ - это максимальная энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при T = 0K. Эту максимальную энергию называют - энергия Ферми - E _F (E_F = m₀). Поэтому обычно записывают:

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми E_F, которую имеют электроны на этом уровне.

Уровень Ферми будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна "потенциальной ямы", как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство . Т.е. электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура вырождения Т₀ находится из условия . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Расчеты показывают, что - для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ вырожден. При T>0K функция распределения Ферми-Дирака, рис.65, плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности Е_F .Это обу словлено тем, что при Т > 0K небольшое число электронов с энергией, близкой к Е, возбуждается за счет теплового движения, и их энергия становится меньше энергии Ферми. Соответственно, вблизи границы Ферми при Е < Е_F среднее число электронов меньше единицы, а при Е > E_F больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое количество электронов.

Если (E - E_F) >> kT, то единицей в знаменателе можно пренебречь и тогда распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Максвелла-Больцмана. Т.о., при (E-E_F)>>kT, т.е. при высоких температурах, к электронам в металле применима классическая статистика, а при (E-E _F)<<kT - только квантовая статистика Ферми-Дирака.