Формулы бернулли и Пуассона

АУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №3

1.Формула Бернулли

Пусть проводится сложный эксперимент, состоящий из одинаковых независимых испытаний, причем в каждом испытании наблюдают за появлением события — успеха, или появлением противоположного события — неуспеха.

Вероятность успеха во всех опытах одинакова и равна , т.е. . Вероятность неуспеха . В этом случае говорят, что испытания проводятся по схеме Бернулли.

При вычислении вероятностей событий в эксперименте, проходящем по схеме Бернулли, справедливы следующие формулы:

1. Вероятность появления успеха раз в серии из испытаний определяется по формуле, называемой формулой Бернулли:

. (1.1)

2. Вероятность того, что событие появится в испытаниях не более раз, вычисляется по формуле:

. (1.2)

3. Вероятность появления события хотя бы один раз при опытах определяется из соотношения

. (1.3)

4. Количество опытов, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью не меньшей можно было утверждать, что событие произойдет, по крайней мере, один раз, находится по формуле

. (1.4)

Задача 1.1. Три монеты одновременно подбрасываются 3 раза. Какова вероятность, что только в одном подбрасывании появятся три герба?

Решение: В этой задаче отдельное испытание Бернулли — это одновременное подбрасывание трех монет. Исход испытания — упорядоченная тройка гербов и решеток.

Пусть событие — выпадение герба у – той монеты при одном бросании . Успех — появление трех гербов. Тогда событие есть произведение трех независимых событий и , т.е.

.

Поскольку , а события — независимы, то, по теореме умножения для независимых событий (2.10), вероятность — успеха в отдельном испытании будет равна:

.

Тогда вероятность неуспеха определится из соотношения

.

Число испытаний, проведенных по схеме Бернулли, (подбрасывание трех монет производится трижды).

Интересующая нас вероятность — это вероятность появления ровно одного успеха в серии из трех испытаний. По формуле Бернулли (1.1), полагая , вычислим требуемую вероятность.

.

Задача 1.2. Играют два равносильных шахматиста. Что вероятнее выиграть: две партии из четырех или три из шести (ничейные исходы партий не учитываются)?

Решение: Независимыми испытаниями, проведенными по схеме Бернулли, в этой задаче являются отдельные сыгранные партии. Поскольку шахматисты равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша в каждой партии полагаем равными, т.е.

, .

Вероятность выиграть две партии из четырех определяется по формуле Бернулли (1.1), в которой и :

.

Вероятность выиграть три партии из шести, вычисленная по этой же формуле при и , равна:

.

, поэтому вероятнее выиграть две партии из четырех.

Задача 1.3. Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью 0,01 имеет дефект. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно дефектное изделие, была не менее 0,95?

Решение: Пусть успех — событие — изделие имеет дефект. По условию вероятность успеха , тогда вероятность неуспеха . Требуется найти минимальное количество испытаний (объем выборки), чтобы с вероятностью, не меньшей , событие появилось хотя бы один раз.

Используя формулу (1.4), получим

.

Следовательно, минимальный объем выборки .

Решение задач 1.1 —1.3 в среде Mathcad показано на рис. 1.

Рис. 1

Задача 1.4. Независимо испытываются три прибора. Каждый при испытании выходит из строя с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что при испытании выйдет из строя хотя бы один прибор.

Решение: решение задачи по формуле (1.3), в которой , и, следовательно, показано на рис. 2.

Задача 1.5. В систему массового обслуживания независимо друг от друга обращаются клиенты двух типов: обычные и с приоритетом в обслуживании. Вероятность поступления клиента с приоритетом равна 0,2. Найти вероятность того, что среди пяти обратившихся клиентов не более двух с приоритетом.

Решение: решение задачи по формуле (1.2), где , , , а показано на рис. 2.

Рис. 2