Дискретно-непрерывные каналы

Модели каналов связи и их математическое описание

Точное математическое описание любого реального канала связи обычно весьма сложное. Вместо этого используют упрощенные математические модели, которые позволяют выявить важнейшие закономерности реального канала.

Рассмотрим наиболее простые и широко используемые связи модели каналов.

Непрерывные каналы.

Идеальный канал без помех вносит искажения, связанные с изменением амплитуды и временного положения сигнала и представляет собой линейную цепь с постоянной передаточной функцией, обычно сосредоточенной в ограниченной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы, спектр которых лежит в определенной полосе частот , имеющие ограниченную среднюю мощность . Эта модель используется для описания каналов малой протяженности с закрытым распространением сигналов (кабель, провод, волновод,световод и т. д.).

Канал с гауссовским белым шумом представляет собой идеальный канал, в котором на сигнал накладывается помеха:

.

(1.4)

Коэффициент передачи и запаздывание считаются постоянными и известными в точке приема; – аддитивная помеха. Такая модель, например, соответствует радиоканалам, с приемо-передающими антеннами работающими и находящимися в пределах прямой видимости.

Гауссовский канал с неопределенной фазой сигнала

Эта модель отличается от предыдущей модели тем, что в ней запаздывание является случайной величиной. Для узкополосных сигналов выражение (1.4) при постоянном и случайных можно представить в виде:

,

(1.5)

где – преобразование Гильберта от сигнала ; – случайная фаза.

Распределение вероятностей предполагается заданным, чаще всего равномерным на интервале от до . Эта модель удовлетворительно описывает те же каналы, что и предыдущая, если фаза сигнала в них флуктуирует. Флуктуации фазы обычно вызываются небольшими изменениями протяженности канала, свойств среды, в которой проходит сигнал, а также фазовой нестабильностью опорных генераторов.

Дискретно-непрерывные каналы.

Дискретно-непрерывный канал имеет дискретный вход и непрерывный выход. Примером такого канала является канал, образованный совокупностью технических средств между выходом кодера канала и входом демодулятора. Для его описания необходимо знать алфавит входных символов , , вероятности появления символов алфавита , полосу пропускания непрерывного канала , входящего в рассматриваемый канал и плотности распределения вероятностей (ПРВ) появления сигнала на выходе канала при условии, что передавался символ .

Зная вероятности и ПРВ по формуле Байеса можно найти апостериорные вероятности передачи символа :

,

Решение о переданном символе обычно принимается из условия максимума .

Дискретные каналы.

Примером дискретного канала без памяти может служить m канал. Канал передачи полностью описывается если заданы алфавит источника , , вероятности появления символов алфавита , скорость передачи символов , алфавит получателя , и значения переходных вероятностей появления символа при условии передачи символа .

Первые две характеристики определяются свойствами источника сообщений, скорость – полосой пропускания непрерывного канала, входящего в состав дискретного. Объем алфавита выходных символов зависит от алгоритма работы решающей схемы; переходные вероятности находятся на основе анализа характеристик непрерывного канала.

Стационарным называется дискретный канал, в котором переходные вероятности не зависят от времени.

Дискретным каналом называется каналом без памяти, если переходные вероятности не зависят от того, какие символы передавались и принимались ранее.

В качестве примера рассмотрим двоичный канал (рис. 1.5). В этом случае , т.е. на входе канала алфавит источника и алфавит получателя состоит из двух символов «0» и «1».

Стационарный двоичный канал называется симметричным, если алфавиты на входе и выходе совпадают. Каждый переданный кодовый символ может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью и правильно с вероятностью .

Необходимо отметить, что в общем случае в дискретном канале объемы алфавитов входных и выходных символов могут не совпадать. Примером может быть канал со стиранием(рис. 1.6). Алфавит на его выходе содержит один добавочный символ по сравнению с алфавитом на входе. Этот добавочный символ (символ стирания « ») появляется на выходе канала тогда, когда анализируемый сигнал не удается отождествить ни с одним из передаваемых символов. Стирание символов при применении соответствующего помехоустойчивого кода позволяет повысить помехоустойчивость.

Большинство реальных каналов имеют «память», которая проявляется в том, что вероятность ошибки в очередном символе зависит от того, какие символы передавались до него и как они были приняты. Первый факт обусловлен межсимвольными искажениями, являющимися результатом рассеяния сигнала в канале, а второй – изменением отношения сигнал-шум в канале или характера помех.

В постоянном симметричном канале без памяти условная вероятность ошибочного приема ( )-го, символа если -й символ принят ошибочно, равна безусловной вероятности ошибки. В канале с памятью она может быть больше или меньше этой величины.

Наиболее простой моделью двоичного канала с памятью является марковская модель, которая задается матрицей переходных вероятностей:

,

где – условная вероятность принять ( )-й символ ошибочно, если -й принят правильно; – условная вероятность принять ( )-й символ правильно, если -й принят правильно; – условная вероятность принять ( )-й символ ошибочно, если -й принят ошибочно; – условная вероятность принять ( )-й символ правильно, если -й принят ошибочно.

Безусловная (средняя) вероятность ошибки в рассматриваемом канале должна удовлетворять уравнению:

или

.

Данная модель имеет достоинство – простоту использования, не всегда адекватно воспроизводит свойства реальных каналов. Большую точность позволяет получить модель Гильберта для дискретного канала с памятью. В такой модели канал может находиться в двух состояниях и . В состоянии ошибок не происходит; в состоянии ошибки возникают независимо с вероятностью . Также считаются известными вероятности перехода из состояния в и вероятности перехода из состояния в состояние . В этом случае простую марковскую цепь образует не последовательность ошибок, а последовательность переходов:

.

При этом достаточно легко выразить безусловные вероятности нахождения канала в состояниях и :

, .

Безусловная вероятность ошибки в этом случае может быть определена по формуле:

.

Наиболее часто при использовании модели Гильберта для двоичного канала полагают , т.е. состояние рассматривается как полный обрыв связи. Это согласуется с представлением о канале, в котором действуют коммутационные помехи.

Возможен другой подход к построению математических моделей каналов, при котором вся предыстория до некоторого фиксированного момента времени заменяется заданием некоторого начального состояния цепи. Зная характеристики цепи, начальное состояние и сигнал, действующий только на промежутке от до , можно определить сигнал на выходе и новое состояние цепи в любой момент времени .

Состоянием цепи называется минимальное множество величин, в которое входит элементов, однозначно определяющих поведение цепи в момент времени . Элементы этого множества называют переменными состояния, которые обычно рассматривают как составляющие компоненты -мерного вектора. Для любой цепи можно записать два уравнения, позволяющих по состоянию в момент и сигналу, поступающему на вход, найти выходной сигнал и состояние в момент . Эти матричные уравнения называют уравнением состояния и уравнением наблюдения.

Литература:

1.Радиотехника / Под ред. Мазора Ю.Л., Мачусского Е.А., Правды В.И.. — Энциклопедия. — М.: ИД «Додэка-XXI», 2002. — С. 488. — 944 с. — 2.Прокис, Дж. Цифровая связь = Digital Communications / Кловский Д. Д.. — М.: Радио и связь, 2000. — 800 с.

3.Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение = Digital Communications: Fundamentals and Applications. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2007. — 1104 с

4.Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра = Wireless Digital Communications: Modulation and Spread Spectrum Applications. — М.: Радио и связь, 2000. — 552 с.