Стохастической неопределенности

Принятие решения в условиях стохастической неопределенности можно описать с помощью матрицы «выигрышей» (или «потерь») c m возможными действиями (стратегиями) и n возможными случайными состояниями природы , которая имеет вид:

,

где представляется как выигрыш (потеря), связанный с -ой стратегией ЛПР (игрока) и -м состоянием природы.

При решении задач наряду матрицами рассматривают соответствующие таблицы:

Таблица 5.1. Исходная матрица в условиях неопределенности
			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Для используют также термин: «полезность» принятого решения.

Таким образом, требуется найти вектор , который обеспечивает оптимум заданной функции полезности по некоторому критерию.

В условиях неопределенности вероятностное распределение, соответствующее состояниям природы, не известно. Поэтому выбор стратегии игроком принимается на основе ряда критериев:

1. Критерий Лапласа.

2. Максиминный (минимаксный) критерий.

3. Максимаксный критерий.

4. Критерий Гурвица.

5. Критерий Сэвиджа.

Критерий Лапласа опирается на следующее соображение: так как распределение вероятностей состояний среды неизвестно, можно считать их равными, то есть .

Выбор наилучшей стратегии выбирается на основе критерия максимизации выигрыша, если задает выигрыш:

, (5.1)

или минимизации потерь, если задает потерю:

, (5.2)

Пример T578. Хенк — прилежный студент, который обычно получает хорошие отметки благодаря, в частности, тому, что имеет возможность повторить материал в ночь перед экзаменом. Перед завтрашним экзаменом Хенк столкнулся с небольшой проблемой. Его сокурсники организовали на всю ночь вечеринку, в которой он хочет участвовать. Хенк имеет три альтернативы: — участвовать в вечеринке всю ночь; — половину ночи участвовать в вечеринке, а половину — учиться; — учиться всю ночь.

Профессор, принимающий завтрашний экзамен, непредсказуем, и экзамен может быть легким ( ), средним ( ) или трудным ( ). В зависимости от сложности экзамена и времени, затраченного Хенком на повторение, можно ожидать следующие баллы.

Порекомендуйте Хенку, какой выбор он должен сделать.

Решение. Очевидно, что в данном случае необходимо воспользоваться формулой (5.1), чтобы максимизировать полученный балл. Рассчитаем ожидаемые значения баллов для каждого решения (стратегии):

балла,

баллов,

балла.

				М

Лаплас рекомендует учиться всю ночь.

Максиминный (минимаксный) критерийназывают еще критерием Вальда, или критерием «осторожного наблюдателя», так как предполагается, что внешняя среда находится в самом невыгодном положении. Поэтому критерий сводится к выбору наилучшей альтернативы из наихудших, если задает прибыль (максиминный критерий):

, (5.3)

или к выбору наихудшей альтернативы из наилучших, если задает потери (минимаксный критерий):

, (5.4)

Применим критерии к предыдущей задаче.

, критерий предлагает стратегию , оценивая при этом шансы Хенка, как получение 82 баллов, при условии, что он будет учиться всю ночь.

Максимаксный критерийназывают также критерием «здорового оптимиста», так как предполагается, что внешняя среда находится в самом выгодном положении. Поэтому критерий сводится к выбору наилучшей альтернативы из наилучших, если задает выигрыш:

, (5.5)

Применим критерий к предыдущей задаче.

, критерий предлагает стратегию , оценивая при этом шансы Хенка, как получение 100 баллов, при условии, что он будет учиться всю ночь.

Критерий Гурвица предполагает, что внешняя среда может находиться в наилучшем состоянии с вероятностью , а в наихудшем состоянии с вероятностью , где .

Если задает выигрыш, тогда решение по критерию Гурвица производится по условию:

, (5.6)

Если задает потери, тогда решение по критерию Гурвица производится по условию:

, (5.7)

Параметр называют показателем оптимизма, так как выбором параметра можно задавать степень оптимизма. При критерий Гурвица переходит в критерий оптимиста, а при — в критерий пессимиста.

Рассмотрим решение предыдущей задачи с уровнем оптимизма . Ожидаемое значения баллов для стратегии :

.

Аналогично рассчитаем значения для остальных стратегий. Для сравнения приведем результаты расчетов при различных :

					62,5
				89,8	86,5	83,2
				96,4		85,6
	max:	96,4		85,6

Наилучшим решением и для данного критерия является .

Критерий Сэвиджа строится на основе матрицы «потерь» , которая получается из матрицы платежей (выигрышей или проигрышей) следующим образом:

Построим матрицу потерь для рассматриваемого выше примера. В данном случае задает выигрыш. Поэтому найдем максимальные значения по столбцам:

max

Вычтем полученные числа 100, 88, 82 из элементов соответствующих столбцов, получим матрицу потерь:

max

К полученной матрице применяется минимаксный критерий:

,

что соответствует решению .