Вопрос 31 Постановка классической задачи вариационного исчисления (задача Лагранжа)

Классическая задача вариационного исчисления: среди множества функций времени – фазовых траекторий, соединяющих две фиксированные точки, соответствующие начальному и конечному моментам времени, требуется выбрать функцию, максимизирующую некоторый интеграл от заданной функции, которая зависит от фазовой координаты и времени.

Рассмотрим функционал V[y]= , (1)

Где - дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Граничные точки допустимых кривых закреплены: y (а) = А, у(b) = В (2).

Таким образом, классическая задача вариационного исчисления ставится так: сре­ди всех функций у(x), имеющих непрерывную производную у(х) 𝝐 С¹ [а,b] и удовлетворяющих условиям (2), найти ту, которая достав­ляет экстремум функционалу (1). Эту задачу называют также задачей с закрепленными границами. Любую траекторию у(х) называют допустимой, если она удовлетворяет граничным условиям (2) и: y(x) – непрерывная, а y’ (x) – кусочно-непрерывная.

Пусть кривая у = (х), реализующая экстремум функцио­нала (1), имеет вторую непрерывную производную, т.е. у(х) 𝝐 С²[а, b]. Для того, чтобы функционал (1), определенный на множестве кривых у(х) 𝝐 С²[а, b], удовлетворяю­щих граничным условиям (2), дости­гал экстремума на кривой (х) 𝝐 С²[а, b], необходимо, чтобы эта кривая удовлетворяла уравнению Эйлера:

его решения – «экстремали». (3)

(4)

Уравнение Эйлера полностью: y" F_y’y' + у' F_yy' + F_xy' — Fy = 0.

Задача (4) может иметь единственное решение, может иметь множество, может не иметь ни одного.

Частные случаи уравнения Эйлера.

1) F не зависит от у': F = F(x,y). УЭ принимает вид F_y = 0. (5)

2) F зависит от y' линейно, т. е. F(x,y,y') = М(х,у) +N(x,y)y'.

В этом случае УЭ имеет вид (6)

3) F зависит лишь от у': F = F(y'). УЭ принимает вид y'' Fy'y' = 0 (F_y'y' 0). (7)

откуда следует, что y'' = 0 и экстремалями оказывается семейство прямых линий

у = С₁х + С₂, где C₁ и С₂ — произвольные постоянные.

4) F не зависит от у: F = F(x,y'). УЭ в этом случае принимает вид ,

следовательно, C₁ (8)

Уравнение (8) интегрируется пу­тем разрешения его относительно или по правилам для уравнений, не разрешенных относительно производной (введением параметра и др.).

5) F не зависит явно от x: F = F(y,y').

УЭ в этом случае принимает вид 0. (9)

После умножения обеих частей (9) на получаем в левой части полную производную по откуда следует существование первого интеграла уравнения (9):

. где С1 — произвольная постоянная.

Это уравнение уже имеет первый порядок и интегрируется или путем разрешения относительно у', или по правилам для уравнений, не разрешенных относительно производ­ной.

УЭ – необх.условие экстремума 1го порядка.

Второго порядка – это условие Лежандра: Fy’’y’’ <=0

Еще условие Вейерштрасса. E=F(y,z’,x)-F(y,y’,x)-dF(y,y’,x)/dy’ * (z’-y’)<=0, где z – любая другая траектория.

Примеры решения задач

1. Найти кривую наименьшей длины, соединяющую точки (а, А) и (b, В).

Ответ задачи очевиден — это прямая, соединяющая указанные точки. Получим ее как минимизирующее решение вариационной за­дачи:

Здесь — длина кривой, соединяющей данные точки. Функция F = зависит лишь от .

Экстремалями оказываются прямые у = С₁Х + С₂. Подставляя полученный вид у(х) в граничные условия, находим

у = , т.е. уравнение прямой, проходящей через точки (а, А) и (b, В).

Наличие экстремума на единственной полученной экстремали и его тип (минимум) ясны из геометрических соображений без всяких достаточных признаков.

2. Задача о брахистохроне — кривой быстрейшего скатывания (лучше — соскальзывания) тяжелой материальной точки из одной точки плоскости в другую (понятно, что рассматриваются точки, не лежащие на одной вертикали).

Эта кривая будет минимизирующим решением вариационной задачи

(12)