Решения заданий типа 41-50

Теоретический справочник

При вычислении пределов используются следующие свойства пределов:

, где , т.е. предел постоянной равен самой постоянной.

 

, то

 

а) ;

 

б) ;

 

в) , если .

 

Из свойств 1⁰ и следует, что

 

, где , т.е. постоянную можно выносить за знак предела.

 

Если , то .

 

Если , то .

 

.

 

Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство: , т.е. предел функции находят непосредственной подстановкой предельного значения аргумента.

Из свойства следует, что предел суммы, произведения, частного двух функций равен, соответственно, сумме, произведению и частному пределов этих функций, если функции имеют конечные пределы (в случае частного предел знаменателя не равен нулю). Если , то приводит к неопределенности типа ; если , то приводит к неопределенности типа ; если , то приводит к неопределенности типа . Чтобы вычислить такие пределы, т.е. «раскрыть неопределенность», необходимо провести дополнительные преобразования.

Пример 1. Вычислить предел .

Числитель и знаменатель дроби являются многочленами и при стремятся к бесконечности и, следовательно, имеем неопределенность . Для раскрытия такой неопределенности вынесем в числителе и знаменателе .

 

= =

 

= =

 

= .

 

Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе имеет меньшую степень по сравнению с многочленом, стоящим в знаменателе:

 

= .

 

Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе имеет большую степень по сравнению с многочленом, стоящим в знаменателе:

 

= .

 

Пример 2. Вычислить .

Определим, имеет ли место неопределенность. Для этого в выражение, стоящее под пределом подставим . Т.о. имеем неопределенность . Разложим на множители числитель:

= , знаменатель: и подставим это в предел =

= = .

 

Пример 3. Вычислить .

= . Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю: .

 

 

= .

Если при раскрытии неопределенности , дробь содержит тригонометрические функции, то в этом случае используют первый замечательный предел: .

 

Пример 4. Вычислить .

= . Преобразуем выражение

= . Отдельно вычислим: =

= = . Аналогично, = =

 

= = = . .

 

Следовательно, = = .

 

Пример 5.

= =

 

= = =

 

= .

 

При раскрытии неопределенности используют второй замечательный предел: или .

 

Пример 6. Вычислить .

Вычислим отдельно предел основания = =

= = и предел показателя , получаем неопределенность .

Преобразуем выражение в скобках к виду

 

, т.е. . Из второго замечательного предела следует, что , поэтому преобразуем показатель степени так, чтобы он содержал сомножитель Таким образом = . Тогда = = =

= = = .

 

Пример 7. Вычислить .

Выражение в скобках запишем в виде т.е.

. Следовательно, показатель степени должен содержать сомножитель :

= =

= = .

Для раскрытия неопределенностей типа или удобно использовать правило Лопиталя-Бернулли: , т.е. предел отношения функций в случае неопределенности или равен пределу отношения производных этих функций.

Для применения правила Лопиталя-Бернулли необходимо научиться вычислять производные функций.

 

Пример 8. Вычислить .

=

.

 

Правило Лопиталя-Бернулли при вычислении предела можно применять несколько раз.

Пример 9. Вычислить .

= =

 

= = .