Свойства бесконечно малых функций

Предел функции.

 

1. Предел функции в точке.

Односторонние пределы.

 

Пример.

 

 

Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .

Опр. 1. Точка А называется пределом функции y=f(x) при , если для любой последовательности точек , сходящейся к , последовательность значений функции сходится к А. В этом случае пишут: =А, или при .

Это определение называют определением предела по Гейне (нем. математик XIX в.)

 

Замечание. Если точка , то предел , если он существует, равен значению функции в данной точке . (См. рис.1)

 

Опр. 2. Если при стремлении к x принимает лишь значения, меньшие (большие) , и при этом , то говорят об одностороннем пределе слева (справа ).

Пример.

 

Утверждение. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела функции в данной точке.

 

Существует и другое (равносильное) определение предела функции, в котором используется понятие окрестности. Оно называется определением по Коши.

Опр. 3. Число А называется пределом функции y=f(x) при , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для всех x, удовлетворяющих условию , верно неравенство .

В символической форме это определение записывается так:

.

Вопрос. Где здесь окрестности? Раскрыть скобки в неравенствах.

Опр.3 можно также сформулировать в следующем общем виде:

Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут =А, если .

 

Геометрический смысл данного определения 3 заключается в следующем: какую бы (даже сколь угодно малую) окрестность точки А на оси Оу мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки на оси Ох, являющаяся ее прообразом.

 

 

2. Бесконечные пределы.

 

Общее определение предела позволяет дать определение и для случаев, когда или А являются несобственными точками, т.е. .

Опр. 4. Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут =А, если:

.

Опр. 5. Число А называют пределом функции y=f(x) при и пишут =А, если:

.

Самостоятельно: сформулировать определение предела при .

Опр.6. Говорят, что функция y=f(x) имеет предел при , равный и пишут , если:

.

Самостоятельно: сформулировать определение предела, равного .

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их связь.

 

Опр. Функция называется бесконечно малой при функцией, если ее предел при равен нулю:

=0 .

 

Опр. Функция называется бесконечно большой при функцией, если ее предел при есть несобственное число:

= .

 

Пример. Функция является: БМ при ; ББ при ; не является ни БМ, ни ББ при .

 

Теорема 1. (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция

y=f(x) имеет предел , то разность между функцией и значением ее предела есть бесконечно малая при .

Док-во. Имеем:

=А .

Надо доказать, что -А)=0, т.е.

. Очевидно, что это условие выполнено. ▲

Следствие. Если функция y=f(x) имеет предел , то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой при функции : .

Теорема 2 ( о связи БМ и ББ функций). Если есть БМ Ф, и в некоторой окрестности точки , то функция есть ББ Ф. Если есть ББ Ф, то функция есть БМ Ф.

Доказать самостоятельно, используя определение предела.

4. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

 

Свойства бесконечно малых функций.

1. Алгебраическая сумма конечного числа БМ Ф есть БМФ при .

2. Произведение БМ Ф на ограниченную в некоторой окрестности точки функцию (в т.ч. на постоянную, на другую БМ) есть БМ Ф.

3. Частное от деления БМ Ф на функцию, предел которой отличен от нуля, есть БМ Ф.

Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух БМ Ф из-за его неопределенности: он может быть равен как конечному числу, так и .

Докажем, например, свойство 1.

Пусть и есть БМ Ф. Докажем, что функция также есть БМ Ф.

По условию для любого , а значит, и для найдутся такие числа и , что :

если , то

(1)

если , то

(2)

Если в качестве взять минимальное из и , т.е. , то для всех х, удовлетворяющих условию будут верны оба неравенства (1) и (2). Складывая их почленно, получим:

.

Используя первое неравенство треугольника, перейдем к более сильному неравенству:

.

Итак, мы нашли , такое, что при всех выполняется неравенство . Это и означает, что функция есть БМ Ф. ▲

 

Свойства бесконечно больших функций.

1. Произведение ББ Ф на функцию, предел которой отличен от 0, есть ББ Ф.

2. Сумма ББ Ф и ограниченной функции есть ББ Ф.

3. Сумма ББ Ф одного знака есть ББ Ф того же знака.

4. Частное от деления ББ Ф на функцию, имеющую конечный предел, есть ББ Ф.

 

Сравнение бесконечно малых функций.

 

Пусть и - БМ Ф. Предположим, что существует предел их отношения, равный некоторому значению А (собств. или несобств.), т.е.

. Тогда если:

1) А – число, не равное 0 или 1, то функции и называются БМ одинакового порядка.

2) А=0, то функция называется БМ более высокого порядка малости, чем и обозначают: (о малое).

Пример:

, - БМ при х→0,

3) А= , то функция называется БМ более высокого порядка малости, чем .

4) А =1, то функции и называются эквивалентными БМ , обозначается: ~ .