Смешанное произведение в координатной форме

Лекция 2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Определение.Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.

правая тройка	левая тройка

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется век­тор , который:

1) ^ и ^ ;

2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е.

, где ;

3) тройка векторов , и правая.

Векторное произведение обозначается или .

Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами , и :

, , .

Свойства векторно­го произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак,

т. е. .

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя,

т. е. .

3. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. .

В частности, .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

.

Примем без доказательства.

Векторное произведение в координатной форме

Пусть заданы два вектора и . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

,

т. е.

Полученную формулу можно записать еще короче:

.

Пример.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение.Произведение векторов , и , составленное следующим образом: , называ­ется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Теорема. Смешанное произведение трех векторов равно

где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. .

Действительно, и . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов и — одной ориентации.

Следовательно, . Это позволяет записывать смешанное произведение векторов в виде без знаков векторного, скалярного умножения.

2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. , , .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомно­жителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

Смешанное произведение в координатной форме

Пусть заданы векторы , , . Найдем их смешанное произведение, используя выраже­ния в координатах для векторного и скалярного произведений:

.

Полученную формулу можно записать короче:

.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.