Основные теоретические сведения и расчетные формулы

При сжатии гибкого стержня осевой силой возможна потеря его ус­той­чивости, при которой ось стержня искривляется и начальная пря­мо­ли­­­нейная форма равновесия нарушается. Минимальная сжимающая сила, пре­вышение которой вызывает потерю устойчивости, называется крити­ческой силой.

При расчетах сжатых стержней на устойчивость встречаются следующие основные задачи:

1. Вычисление величины критической силы;

2. Определение допускаемого значения сжимающей силы;

3. Подбор сечения стержня по условию его устойчивости;

4. Определение запаса устойчивости стержня.

Величина критической силы вычисляется по формуле Эйлера или Ясин­ского в зависимости от гибкости рассматриваемого стержня.

Под гибкостью стержня понимается безразмерная величина, вычисляемая по формуле

(9.1)

где l- длина стержня;

i_min - минимальный радиус инерции поперечного сечения;

m - коэффициент, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Его значения для наиболее распространенных способов закрепления приведены в таблице 10

Формула Эйлера применима при условии, что критическое напря­же­ние, равное , не превышает предела пропорциональности материала стер­жня. Обычно это условие выражается формулой

, (9.2)

где - предельная гибкость стержня.

Для каждого материала определяется по выражению

, (9.3)

где Е - модуль упругости материала;

s_пц - предел пропорциональности материала стержня.

Например,для стали марки Ст.3 при E = 2×10⁵МПа, s_пц = 200МПа и предельная гибкость l_пр =100.

Если расчетная гибкость стержня больше или равна предельной, то для вычис­ления критической силы применяется формула Эйлера:

(9.4)

если гибкость меньше предельной, то для вычисления критической силы исполь­зуется эмпирическая формула, предложенная Ясинским:

(9.5)

(для стали Ст3 ).

Наряду с расчетами по формуле Эйлера или Ясинского при расчетах сжатых стержней на устойчивость широко применяется метод, в котором условие устойчивости сжатого стержня записывается в следующем виде:

[s]_у = j × [s]_с, (9.6)

где N- сжимающая сила;

F - площадь поперечного сечения стержня;

[s]_у - допускаемое напряжение при расчете стержня на устой­чи­вость;

[s]_с - допускаемое напряжение материала стержня при сжатии;

j - коэффициент снижения допускаемого напряжения.

Величина коэффициента j зависит от гибкости стержня l и материала, из которого он изготовлен. Для малоуглеродистой стали (Ст.3) его можно определить по табл.11.

Таблица 10 - Коэффициенты приведения длины m

Схема закрепления
Коэффициент			0,7	0,5

в зависимости от способа закрепления концов cтержня

Таблица 11 - Величины коэффициентов j для стали Ст. 3 в зависимости от гибкости l

	1,00 0,99 0,96 0,94 0,92 0,89 0,86		0,81 0,75 0,69 0,60 0,52 0,45 0,40		0,36 0,32 0,29 0,26 0,23 0,21 0,199

Условие устойчивости позволяет найти допускаемое значение сжимающей силы:

j × [s]_сж. (9.7)

Поскольку условие устойчивости включает в себя два параметра и j, зависящие друг от друга, при подборе сечения стержня следует ис­пользовать способ проб, заключающийся в том, что задаются значением одного из параметров, например j, определяют из условия устойчивости площадь сечения, а затем проверяют, удовлетворяется ли условие

= j × [s]_сж.

Если условие удовлетворяется, то расчет на этом заканчивается, если нет, то задаются новым значением и аналогичный расчет повторяется до тех­ пор, пока условие устойчивости не будет удовлетворено.

Запас устойчивости сжатого стержня

(9.8)

показывает, во сколько раз критическая сила больше заданной или до­пус­каемой.