Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

 

Кинематика поступательного движения материальной точки

Положение материальной точки в пространстве определяется с помощью радиус-вектора , где – единичные векторы – орты, направленные по осям прямоугольной системы координат, – координаты точки.

Кинематическое уравнение движения материальной точки: , где – функции, выражающие зависимость координат точки от времени.

Средняя скорость:

, где – вектор перемещения за время .

Средняя путевая скорость:

, где – путь, пройденный за время .

Мгновенная скорость:

.

Среднее ускорение:

, где – приращение скорости за время .

Мгновенное ускорение:

.

Полное ускорение при криволинейном движении:

, ,

где – нормальная составляющая ускорения, – радиус кривизны траектории: – тангенциальная составляющая ускорения.

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от до :

.

Координата материальной точки:

.

Кинематика вращательного движения материальной точки

Средняя угловая скорость: , где – угол поворота за время .

Мгновенная угловая скорость: .

Линейная скорость .

Среднее угловое ускорение , где – приращение угловой скорости за время .

Мгновенное угловое ускорение .

Тангенциальное ускорение .

Нормальное ускорение .

Угол поворота: .

Прямолинейное движение	Движение по окружности
Равномерное движение
; ;	; ; ; – период, – частота вращения, N – число оборотов.
Равнопеременное движение
; ; ; . ; «+» – для равноускоренного движения; «-» – для равнозамедленного движения.	; = ; , ; ; ; . «+» – для равноускоренного движения; «-» – для равнозамедленного движения.

 

Относительность движения.

Сложение перемещений: , где – перемещение точки относительно неподвижной системы отсчета; – перемещение точки относительно подвижной системы отсчета: – перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Закон сложения скоростей: , где – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета; – скорость движения подвижной системы отсчета относительно неподвижной, – скорость движения тела относительно подвижной системы отсчета.

 

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Импульс материальной точки .

Импульс системы материальных точек .

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки): ,

где – равнодействующая всех сил, действующих на точку.

Изменение импульса материальной точки за промежуток времени от до :

.

Радиус – вектор центра масс: .

Закон сохранения импульса для замкнутой системы: .

Взаимодействия в природе.

Сила гравитационного взаимодействия: , где – массы взаимодействующих материальных точек, кг; – расстояние между телами,м; – гравитационная постоянная.

Сила тяжести , где – ускорение свободного падения м/с²:

· ‑ на поверхности Земли: , где – масса и радиус Земли;

· ‑ на высоте над поверхностью Земли: ;

· ‑ на глубине от поверхности Земли:

· при h « R.

·

Первая космическая скорость вблизи поверхности Земли:

.

Первая космическая скорость на высоте h от поверхности Земли:

.

Вторая космическая скорость:

.

Закон Гука для продольного упругого растяжения (сжатия): , где – нормальное напряжение, Па; F – сила упругости, Н; – площадь поперечного сечения образца, м²; – относительное удлинение, – модуль Юнга или модуль упругости, Па. Для упругой пружины закон Гука принято записывать в виде , где k – коэффициент жесткости, x – деформация.

Сила трения скольжения: , где – коэффициент трения скольжения; – сила реакции опоры.

Механическая работа и мощность.

Элементарная работа:

,

где – проекция силы на направление перемещения ; – угол между направлением силы и перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой на пути:

.

Работа силы тяжести вблизи поверхности Земли: , где и – начальная и конечная высота тела относительно начала отсчёта.

Работа силы упругости при деформации пружины: ,

где и – начальная и конечная величина линейной деформации.

Работа силы трения: .

Средняя мощность за интервал времени Δt:

Мгновенная мощность: .

Коэффициент полезного действия:

(%), где , , , – соответственно полезные и затраченные работа и мощность.

Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:

, где m – масса тела, – его скорость, p – импульс.

Потенциальная энергия тела и .консервативная сила, действующая на тело в данной точке:

; ,

где , , – единичные векторы координатных осей.

Потенциальная энергия:

· упруго деформированного тела: ; – потенциальная энергия упругого деформированного тела при растяжении – сжатии; – напряжение, – объем тела, – модуль Юнга; - потенциальная энергия упруго деформированного тела при деформации сдвига, где – касательное напряжение, – модуль сдвига.

· гравитационного взаимодействия двух частиц: ;

· тела в однородном гравитационном поле: , где – напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения); – расстояние от нулевого уровня потенциальной энергии.

Динамика вращательного движения

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения:

, где – расстояние до оси вращения.

Момент инерции системы материальных точек (тела): , где – расстояние –ой материальной точки массой до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс .

Теорема Штейнера: момент инерции тела массой m относительно неподвижной оси вращения, не проходящей через центр масс и параллельной оси вращения тела: , где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, – расстояние между осями.

 

Момент инерции тел правильной геометрической формы относительно неподвижной оси вращения.

Форма тела	Ось вращения	Момент инерции
1.Однородный шар радиусом и массой	проходит через центр масс
2.Круглый однородный цилиндр или диск радиусом и массой	проходит через центр масс перпендикулярно плоскости основания
3.Тонкий обруч или кольцо радиусом и массой	проходит через центр масс перпендикулярно плоскости обруча
4.Однородный тонкий стержень длиной и массой	проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню
проходит через конец стержня перпендикулярно стержню

Момент силы относительно произвольной точки:

, где – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы .

Модуль момента силы относительно оси: , где – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения.

; ,

где – радиус–вектор отдельной -ой частицы; – импульс этой частицы; – момент инерции тела относительно оси; – угловая скорость.

Основное уравнение (закон) динамики вращательного движения

· относительно неподвижной точки: , где - главный (результирующий) момент всех внешних сил, действующих на систему относительно неподвижной точки О; - скорость изменения момента импульса системы относительно той же точки;

· относительно неподвижной оси z:, , где – угловое ускорение, – момент инерции тела относительно оси.

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы:

или .

Элементарная работа при вращении тела: , где – момент силы относительно оси; – элементарный угол поворота тела.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

, где – скорость центра масс тела, – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Условия равновесия тела.

Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю: .

Векторная сумма моментов всех сил, действующих на тело, равна нулю: .

Элементы механики жидкостей

Гидростатическое давление столба жидкости высотой : , где – плотность жидкости, кг/м³.

Закон Архимеда: , где – выталкивающая сила: – объем погружённой части тела.

Уравнение неразрывности струи: ,где – площадь поперечного сечения трубки тока; – скорость движения жидкости в этом сечении.

Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной жидкости:

,

где – статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; – скорость жидкости для этого сечения; – динамическое давление жидкости для этого сечения; – высота, на которой располагается сечение; – гидростатическое давление.

Скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде

(формула Торичелли): , где – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

Формула Стокса, определяющая силу сопротивления F, действующую со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик:

, где r – радиус шарика, u – его скорость.