Простейшим способом задания конечного множества М из

𝑛 элементов является прямое перечисление его элементов в фигурных скобках с их нумерацией

М= .

Пример: М={2, 0, -3}={0, -3, 2}. Перестановкой элементов множества подчеркивается произвольность порядка их перечисления.

Если множество М бесконечно, но, тем не менее, все его элементы можно перенумеровать, то такое множество называется счетным и оно может быть представлено в аналогичном виде

М= .

Помимо перечисления элементов множества можно описывать с помощью, так называемого характеристического свойства (признака), которое означает справедливость (истинность) некоторого утверждения только для элементов данного множества.Обозначим характеристическое свойство символом XS. Тогда множество М описывается как совокупность неких объектов, обладающих свойством XS:

М= .

 

Возможна также запись

М= ,

 

которая означает, что множество М состоит из тех элементов множества V, для которых утверждение .

Например, V= ,а ХS - “спелость”. Тогда

М - все спелые ягоды земляники на этой лужайке.

Математика имеет дело с множествами различной природы и, конечно же, с числовыми множествами, для которых приняты стандартные обозначения:

N - множество натуральных чисел (целых больших нуля);

Z - множество всех целых чисел (положительных и отрицательных);

Q - множество рациональных чисел (получаемых в результате

деления двух целых чисел);

R - множество вещественных или действительных чисел

(рациональных чисел в совокупности с иррациональными -

корнями из рациональных чисел).

Теперь, используя рассмотренные выше способы, нетрудно дать формализованное описание этих множеств:

N= ;

Z= ;

Q= = ;

R= .

Множество вещественных положительных чисел как подмножество всех вещественных чисел может быть описано следующей фразой

= ÌR,

где ” ” - характеристический признак.

Для двух множеств X и Y совокупность упорядоченных пар (𝑥, 𝑦), первый элемент которой принадлежит первому множеству, а второй - второму называется декартовым или прямым произведением указанных множеств и обозначается

X×Y= .

 

В частности, декартово произведение самого на себя множества вещественных чисел как точек числовой оси дает геометрическую плоскость в виде множества точек в координатном представлении

=R×R=

где линия = является осью абсцисс, а

= - осью ординат.

Примеры.

1. Пустое множество

V= =Æили U= =Æ.

2. Множество целых чисел на интервале [0, 3)

C= = .

3. Интервал [-5, 3)={ : -5£ 𝑥<3}.

-1

S

4. Описать вторую четверть единичного круга (помечена штриховкой) как удовлетворяющее соответствующим условиям множество точек плоскости:

S={ + ≤1, [-1, 0], }.

 

(-2, 1)

Î[-2, 0],

- 2

5. Прямоугольник 2´1 с правой нижней угловой точкой в начале координат может быть представлен в виде множества двояко - либо через характеристическое свойство, либо как

декартово произведение двух отрезков

Р={( ): Î[-2,0], Î[0,1] }=[-2,0]´[0,1].

6. Прямое произведение двух конечных числовых множеств

А={1, 0, -3} и В={2, -3} дает 6 числовых пар

А´В={(1,2), (1,-3), (0,2), (0,-3), (-3,2), (-3,-3)}.

В´А≠ А´В.

При этом

{(2,1), (2,0), (2,-3), (-3,1), (-3,0), (-3,-3)} =

Неравенство в рамке означает, что декартово произведение не обладает свойством перестановочности множеств (коммутативность).