Уравнения метода конечных элементов: теория упругости.

2020-03-17

252

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 11 Следующая

Наша конечная цель — получить для узловых величин такие числовые значения, при которых соотношения для элементов очень точно аппроксимируют некоторый важный физический параметр. В задачах теории поля (перенос тепла, течение грунтовых вод, расчет магнитных полей и др.) минимизировался некоторый функционал. Этот функционал обладает тем свойством, что любая минимизирующая его функция удовлетворяет как исходным дифференциальным уравнениям, так и граничным условиям. Окончательные результаты, как для задач теории поля, так и для задач теории упругости, представлены в виде поверхностных и объемных интегралов, которые вычисляются при рассмотрении конкретных областей применения. [14]

Решение задач теории упругости может быть проведено одним из двух методов. С помощью первого метода решают дифференциальные уравнения с заданными граничными условиями. Второй метод заключается в минимизации интегральной величины. Для решения задач теории упругости методом конечных элементов используется последний подход. Если задача решается в перемещениях и на границе заданы их значения, то нужно минимизировать потенциальную энергию системы. Если задача решается в напряжениях с заданными на границе усилиями, то нужно минимизировать дополнительную работу системы. Общепринятая формулировка метода конечных элементов предполагает отыскание поля перемещений и тем самым связана сминимизацией потенциальной энергии системы при отыскании, узловых значений вектора перемещений. После того как перемещения будут определены, можно вычислить компоненты тензоров деформаций и напряжений. [14], [15]

Поскольку далее мы будем пользоваться формулировкой метода конечных элементов, связанной с минимизацией потенциальной энергии, приведем здесь теорему о потенциальной энергии.

Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематическим гра ничным условиям, стационарное (экстремальное) значение потенциальной анергии сообщают те перемещения, которые удовлетворяют уравнениям, равновесия.

Важное требование этой теоремы состоит в том, что искомые перемещения должны удовлетворять заданным значениям на границе.

Полная потенциальная энергия упругой системы может быть разделена на две части, одна из которых соответствует энергия деформаций в теле, а другая определяется потенциальной энергией массовых сил и приложенных поверхностных сил. В соответствии с этим запишем полную потенциальную энергию в виде

, (3.7)

где —энергия деформаций, a —потенциальная энергия приложенных сил. Работа внешних сил противоположна по знаку их потенциальной энергии:

. (3.8)

Из формул (3.7) и (3.8) получаем

. (3.9)

После разбиения области на элементы равенство (3.9) записывается е виде суммы

. (3.10)

Общий случай.

Энергия деформации бесконечно малого объема dV дается формулой

, (3.11)

где —полная деформация, а —начальная деформация. Величина называется плотностью энергии деформации, аполная энергия деформации получается интегрированием этой величины по объему тела:

. (3.12)

Вид векторных столбцов и зависит от того, какая задача решается. Например, для двумерного случая плоской деформации эти вектор - столбцы имеют вид

В основе курса теории упругости лежат два важных соотношения: закон Гука, который связывает компоненты тензоров напряжений и деформаций, и соотношения связи между деформациями и перемещениями. Закон Гука в общей форме имеет вид

, (3.13)

где [ D ] содержит упругие константы материала. Соотношения связи между деформациями и перемещениями записываются как

, , , (3.14)

где и, и w — компоненты перемещений в направления координатных осей х, у и z соответственно[2]. Эти компоненты перемещений были выражены в гл. 3 через узловые значения следующим образом:

. (3.15)

Здесь [ N ] —матрица функций формы. С помощью формул (3.14) можно выразить вектор деформации через узловые перемещения { U }.Общая форма этих соотношений такова

. (3.16)

Здесь [В] —матрица, получаемая дифференцировал нем надлежащим образом матрицы [ N ]. Фактические значения коэффициентов матрицы [В] зависят от вида используемого элемента и от типа рассматриваемой задачи. Поэтому точное определение [В] будет отложено до рассмотрения конкретных примеров. [30]

Энергия деформации отдельного элемента с помощью формул (3.13) и (3.16) может быть записала в следующем виде:

. (3.17)

Последнее слагаемое в (5.68) не зависит от узловых значений , поэтому оно не влияет на процесс минимизации и в дальнейших ссылках не будет приниматься во внимание. [30]

Работа, совершаемая внешними силами, может быть разделена на три различные части: работа , совершаемая сосредоточенными силами, работа , которая получается в результате действия компонент напряжений на внешней стороне поверхности, работа , совершаемая массовыми силами.

Работу сосредоточенных сил легко определить, если в каждой точке приложения сосредоточенной силы поместить узел. Работа сосредоточенной силы равна произведению величины этой силы на длину пути, нa котором эта сила действует. Таким образом, работа отдельной силы равна . Обозначая узловые силы через {Р}, а узловые перемещения через { U }, совершенную работу можно записать в виде произведения матриц:

. (3.18)

Это определение предполагает, что силы разложены на компоненты, параллельные компонентам перемещений. Эта часть полной работы не входит в сумму (3.2), так как рассмотренные силы сосредоточены в узлах. [30], [34]

Работа объемных сил χ, ỳ, £дается формулой

где и, и w — компоненты вектора перемещений внутри элемента по осям х, у и z соответственно. Интеграл здесь необходим, так как и, и вместе с χ, ỳ и £могут изменяться внутри элемента. Используя равенство (3.14), формулу (3.18) можно переписать в виде

. (3.19)

Работа поверхностных сил определяется следующим образом:

, (3.20)

где и, и w — компоненты вектора перемещений, а р_х, p_y и p_z — компоненты вектора напряжений, параллельные координатным осям х, у и z .

Сравнение формул (3.20) и (3.18) показывает, что они идентичны по форме. Поэтому

. (3.21)

Используя формулы (3.2), (3.10), (3.17), (3.19) и (3.21), получаем выражение для полной потенциальной энергии:

, (3.22)

Чтобы минимизировать величину П, продифференцируем выражение (3.22) по { U } в приравняем результат нулю. Эту операцию можно выполнить, используя дифференциальные соотношения Б1 и Б2. В результате будем иметь

. (3.23)

Интегралы в формуле (3.23) определяют для каждого элемента вектор нагрузки { f ⁽ ^e ⁾ } и матрицу жесткости , которые можно объединить следующим образом: