Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Найдем спектр квадрата функции s(t).

- используем свойства преобразования Фурье для произведения двух функций.

В частном случае ( ) будем иметь:

. Переходя от к и т. к. , комплексное сопряжение .

- равенство Парсеваля.

- спектральная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу полосы частот). Е - полная энергия сигнала.

Для энергии, приходящейся на конечную полосу частот, получим:

- при симметричной

 

Примеры. Спектр Гауссова (колокольного) импульса

, -¥ < t < ¥, а - условная половина длительности на уровне 0,606.

.

Произведем преобразование в показателях степени:

где d - определяется из условия:

откуда

.

При d - конечном т. к. .

Тогда т. е. спектр Гауссова импульса имеет Гауссову форму: ^.

Можно показать, что Гауссов импульс обладает наименьшим при среднеквадратичном их определении.

Спектр d-функции

.

В качестве d-функции может выступать сигнал любой формы с бесконечно малой длительностью и единичной площадью.

Свойства d-функции

1) - фильтрующее свойство.

2) Четность

3) Нормировка

Спектральная плотность

.

При t₀ = 0, ,

при t₀ ¹ 0, .

- это спектральное определение d-функции.

Аналогично - определение d-функции в частотной области.

Спектральная плотность гармонического колебания

Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье функции s(t) является ее абсолютная интегрируемость Применениеd-функции позволяет получить спектральную плотность и для неинтегрируемых функций.

Пусть Найдем спектральную плотность, формально не обращая внимания, что сигнал абсолютно не интегрируем.

Произведем замену .

Но тогда

.

Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность на дискретных частотах ±w₀.

В частности, для постоянного напряжения w₀ = 0,

Задание 2

В соответствии с номером варианта (последняя цифра в номере списка группы) определить энтропию источника сообщений.

4

0,15

0,01

0,09

0,25

0,01

0,04

0,1

0,18

0,02

0,15

 

 

 

Задание 3

Для источника сообщений предыдущего задания построить эффективный код Хаффмена.

 

x4	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0, 32	0,4 3	0,5 7	1
x8	0,18	0,18	0,18	0,18	0,18	0,25	0,25	0,32	0,43
x6	0,15	0,15	0,15	0,15	0,1 7	0,18	0,25	0,25
x9	0,15	0,15	0,15	0,15	0,15	0,17	0,18
x3	0,10	0,10	0,10	0,10	0,15	0,15
x7	0,09	0,09	0,09	0,03	0,10
x10	0,04	0,04	0,04	0, 08
x1	0,02	0,02	0,0 4
x2	0,01	0,0 2
x5	0,01

0

0

0

1

1

1

1

x1-110 X₈

x2-1110001

x3-1111

0

x4-10

x5-1110000

x6-11101

x7-010

X8

1

0

x8-00

x9-111001

X4

x10-011

Задание 4

Построить двоичный групповой помехоустойчивый код Хэмминга для исправления одиночных ошибок. Количество передаваемых сообщений – 45.

Дать описание построенного кода в виде проверочных равенств и матрицы.

 

k=3

m=3

n=m+k

n=6

(6,3)

 

Исходный код:

k₁k₂k₃

Код Хэмминга:

_m1m2k1m3k2k3

a₁a₂a₃a₄a₅a₆

Варианты разрядов в которых может возникнуть ошибка

 

Номера разрядов в которых может возникнуть ошибка

 

 

Значения проверочных битов

 

Проверочные равенства:

 

 – проверочный синдром, указывающий номер бита с ошибкой

 

Проверочная матрица:

 

Пример:

Закодируем сообщение 101

Исходный код

Закодированный код

Найдем проверочные разряды

 

Получаем код

Смоделируем ошибку при передаче сообщения. Инвертируем 5 бит сообщения 101101 и получим 101111.

Представим принятый код в виде

Используя проверочные равенства найдем

Получаем проверочный синдром S(101), который указывает на ошибку в 5 бите. Для исправления ошибки необходимо проинвертировать указанный бит 101101. В результате получаем исходный закодированный код. Для его декодирования необходимо исключить из сообщения биты 1,2, и 4 биты. Получаем исходный код 101.

 

 

Литература

1. Блейтхут  Р. Для теории и практики кодов, контролирующих ошибки. / Под общей редакцией К. Ш. Зигангирова . -г. Москва.: Мир, 2003.

2. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации. – М.: Высшая школа, 1989.

3. Мсхаля Ж. Основы современных информационных технологий. Учебное пособие для вузов. М.: АСВ, 2003.

4. Методические указания к лабораторным работам по курсу "Элементы теории информации" для студентов специальности "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем" / Составители: В.Н. Ярмолик, А.В. Литвиненко, А.И. Янушкевич. – Мн.: БГУИР, 1996.