Вычисление квадратных корней

Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что  не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х, где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х. Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .

Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение  с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу  – на экране высветится 8 цифр значения . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.

Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.

Теорема. Если а – положительное число и  – приближенное значение для  по избытку, то  – приближенное значение для  по недостатку.

Доказательство.

По условию x₁>  и потому х₁² >a, <1. Но ² =  = a . Т.к. <1, то a <a . Значит, а и - приближенное значение для  по недостатку.

Аналогично доказывается, что если  – приближенное значение для  по недостатку, то  – приближенное значение  по избытку.

Поскольку  и  являются приближенными значениями для  по избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для  естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число х2 = . А чтобы получить еще более точное значение для , надо взять среднее арифметическое чисел , т.е. число х3 = . Так вычисляются одно за другим все лучшие и лучшие приближенные значения для . Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения  не совпадут в пределах заданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваивает число верных десятичных знаков.

Пример 1. Уточним по формуле х2 =  приближение

х1 = 1,414 для .

Решение.

В нашем случае а=2. Поэтому

х1 = (1,414 + 1,4144271) + 1,4142135…

Выполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответа верны, т.е. число верных знаков удвоилось.

Пример 2 . Найдем приближенное значение для  с точностью до 0,0001.

Решение.

Выберем за первое приближение для  число 2. Тогда второе приближение вычисляется так:

х2 = = 2,25

Далее имеем

х3 = = 2,2361,

х4= =2,2361.

Значит, с точностью до 0,0001 имеем =2,2361.

Ответ: