Вершинная связность и реберная связность.

 

Прежде чем ввести понятия вершинной и реберной связности, рассмотрим одну математическую модель, возникающую, в частности, при проектировании и анализе сетей ЭВМ. Имеется сеть, состоящая из центров хранения и переработки информации. Некоторые пары центров соединены каналами. Обмен информацией между любыми двумя центрами осуществляется либо непосредственно по соединяющему их каналу, если он есть, либо через другие каналы и центры. Сеть считается исправной, если каждая пара центров в состоянии обмениваться информацией. Такой сети естественно сопоставить граф: вершины–центры, ребра–каналы сети. Тогда исправной сети будет соответствовать связный граф. Важным понятием является надёжность (живучесть) сети, под которой обычно подразумевают способность сети функционировать при выходе из строя одного или нескольких центров или (и) каналов. Ясно, что менее надежной следует считать ту сеть, исправность которой нарушается при повреждении меньшего количества элементов. Оказывается, надежность сети можно измерять на основе вводимых ниже определений.

Числом вершин связности (или просто числом связности) ( G ) графа G называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или одновершинному графу.

Так, например, ( K ₁ )=0, ( K_n )= n –1, ( C_n )=2.

Это вполне согласуется с интуитивным представлением том, что при n>3 граф K_n сильнее связен, чем C_n.

Граф G, представленный на рис. 4.1 связен, но его связность можно нарушить, удалив вершину 4. Поэтому ( G )=1. Если же попытаться нарушить связность этого графа путем удаления ребер (а не вершин), то придется удалить не менее трех ребер. Например, G распадается на две компоненты

при удалении ребер {4,5}, {4,6}, {4,7}. Чтобы учесть это обстоятельство, введем еще одно определение.

Пусть G–граф порядка n>1. Числом реберной связности ( G ) графа G назовем наименьшее число ребер, удаление которых приводит к несвязному графу. Число реберной связности графа будем считать равным нулю, если этот граф одновершинный.

В качестве иллюстрации снова обратимся к графу G на рис. 4.1 Здесь ( G )=3 и, следовательно, (G)> (G). Ниже будет показано, что противоположное неравенство невозможно ни для какого графа.

Определим некоторые элементы графа, играющие особую роль в дальнейших рассмотрениях.

Вершина v графа G называется точкой сочленения (или разделяющей вершиной), если граф G – v имеет больше компонент, чем G. В частности, если G связен и v – точка сочленения, то G– v не связен. Аналогично ребро графа называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент.

    Таким образом, точки сочленения и мосты – это своего рода «узкие места» графа. Граф, изображенный на рис. 4.2, имеет три точки сочленения a , b , c и один мост ab.

    Понятно, что концевая вершина моста является точкой сочленения, если в графе есть другие ребра, инцидентные этой вершине.

    Возвращаясь к рассматриваемой в начале параграфа сети, нетрудно заметить, что число вершинной связности и число реберной связности ее графа отражают чувствительность сети к разрушению центров и каналов соответственно, а мостам и точкам сочленения отвечают наиболее уязвимые места сети.

Если ( G ) – минимальная степень вершин графа G, то очевидно, что ( G ) ( G ), поскольку удаление всех ребер, инцидентных данной вершине, приводит к увеличению числа компонент графа.

    Выясним теперь соотношения между числами ( G ) и ( G ). Если граф G не связен или имеет мост, то очевидно, что ( G )= ( G ). Пусть G– связный граф без мостов. Выберем в этом графе множество Е₁, состоящее из = ( G ) ребер, удаление которых приводит к несвязному графу. Пусть E ₂ E ₁, | E ₂ |= –1. Граф G – E ₂ связен и имеет мост, который обозначим через uv. Для каждого ребра из множества Е₂ выберем какую–либо инцидентную ему вершину, отличную от u и v. Удалим теперь выбранные вершины из графа. Этим самым будут удалены, в числе прочих, и все ребра, входящие в Е₂. Если оставшийся граф не связен, то = ( G )< . Если же он связен, то ребро uv является мостом. Поэтому удаление одной из вершин u или v приводит к несвязному или одновершинному графу, а это означает, что .

Таким образом, доказана

Теорема 4.1: Для любого графа G верны неравенства

( G ) .

 

Граф называется к–связным, если , и реберно–к–связным, если . Таким образом, отличный от К₁ граф 1–связен (односвязен) тогда и только тогда, когда он связен, а 2–связные (двусвязные) графы – это связные графы без точек сочленения, не являющиеся одновершинными.

    Граф G, изображенный на рис. 4.1 1–связен и реберно–3–связен. Легко видеть, что этот граф содержит подграфы, являющиеся «более связными», чем сам граф. Таков, например, подграф, порожденный множеством вершин {1, 2, 3, 4, 8}. Он 3–связен.

Чтобы учесть эту и подобные ей ситуации, естественно ввести следующее определение: максимальный k–связный подграф графа называется его к–связной компонентой, или просто к–компонентой.

Это определение иллюстрируется на рис. 4.3. На этом рисунке граф G ₁ имеет две 2–компоненты, а G ₂–две 3–компоненты. Сами графы G ₁ и G ₂

являются 1–компонентами графа G ₁ G ₂. легко заметить, что 2–компоненты графа G ₁ имеют одну большую вершину, а 3–компоненты графа G ₂–две общие вершины. Следующая теорема показывает, что это обстоятельство не случайно.

Теорема 4.2: Две различные к–компоненты графа имеют не более чем к–1 общих вершин.

Доказательство

Пусть G ₁ и G ₂ –различные k–компоненты графа G и VG ₁ VG ₂ = X. Предположим, что | X | k, и докажем, что тогда граф G ₁ G ₂ должен быть к–связным. Для этого в данном случае достаточно показать, что он остается связным после удаления любых k –1 вершин, т.е. Y V ( G ₁ G ₂ ), | Y |= k -1, то граф ( G ₁ G ₂ ) – Y связен. Положим

Y_i=(VG_i\X) Y,                      i=1,2,                      Y₃=X Y.

Ясно, что

|Y_i| k–1,                            i=1,2,3,                         Y= Y₁ Y₂ Y₃.

Поскольку

| Y_i Y ₃ | k –1,                  i =1,2,

и графы G ₁ и G ₂ k–связны, то графы

H_i=G_i–(Y_i Y₃),                      i=1,2,

связны. Так как по предложению | X | k, то X \ Y ₃ Ø, т.е. связны графы H ₁ и H ₂ имеют хотя бы одну общую вершину. Следовательно, связен граф H ₁ H ₂ =( G ₁ G ₂ )– Y. Последнее означает, что граф G ₁ G ₂ k–связен. Поэтому, вопреки предположению, ни G ₁ не являются k–компонентами графа G.

Двусвязные графы

Случаям, когда k =2 или k =3, в теории графов отведена особая роль. Это объясняется следующими причинами. Во–первых. 2– и 3–связные графы фигурируют во многих теоретических и прикладных вопросах, в частности, ряд задач достаточно уметь решать для 2–связных компонент. Во–вторых, при к=3 и, особенно, при к=2 удается дать в некоторой степени обозримое описание соответствующих графов.

Рассмотрим вначале некоторые простые свойства 2–связных графов, вытекающие непосредственно из определений:

1) степени вершин 2–связного графа больше единицы;

2) если графы G ₁ и G ₂ 2–связны и имеют не менее двух общих вершин, то граф G ₁ G ₂ также 2–связен;

3) если граф G 2–связен и Р–простая цепь, соединяющая две его вершины, то граф G P также 2–связен;

4) если вершина v не является точкой сочленения связного графа, то любые две его вершины соединены цепью, не содержащей v ; в частности, в 2–связном графе для любых трех несовпадающих вершин a , b , v имеется ( a , b )–цепь, не проходящая через v .

Этими свойствами мы будем пользоваться без каких–либо пояснений и дополнительных ссылок на них.

Теорема 5.1 пусть G –связный граф и | G |>2. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) граф 2–связен;

2) любые две вершины графа принадлежат простому циклу;

3) любая вершина и любое ребро принадлежат простому циклу;

4) любые два ребра принадлежат простому циклу;

5) для любых двух вершин a и b и любого ребра е существует простая ( a , b )–цепь, содержащая е;

6) для любых трех вершин a , b , c существует простая ( a , b )–цепь, проходящая через с.

1) 2). Пусть a и b–две вершины графа G. Рассмотрим множество всех простых циклов графа G, содержащих а. Обозначим через U множество всех вершин, входящих в эти циклы. Ясно, что U Ø. Действительно, простой цикл, содержащий а, можно получить, объединить два ребра ax и ay ( x ≠ y ) и простую ( x , y )–цепь, не проходящую через а (существующую согласно свойству 4)). Предположим, что b U, и положим =VG \ U. Поскольку граф G связен, то в нем найдется такое ребро zt, что z U , t (рис. 5.1). Пусть S–простой цикл, содержащий a и z. Так как G – 2-связный граф, то в нем имеется простая ( a , t )-цепь P, не содержащая z. Пусть v – первая, считая от t, вершина, входящая в S, т.е. ( t , v )-подцепь цепи P не имеет с S общих вершин, отличных от v. Теперь легко построить простой цикл, содержащий a и t. Он получается объединением ( v , z )- цепи, проходящей через а и являющейся частью S, с ребром zt и ( t , v )-подцепью цепи Р (на рис. 5.1 этот цикл показан пунктирной линией). Следовательно, t ; но это противоречит выбору ребра zt. Таким образом, =Ø, т.е. a и b лежат на общем простом цикле.

2) 3). Пусть а–вершина и zt–ребро графа G. По условию G содержит цикл S, проходящий через вершины a и z. Не теряя общности будем считать, что zt S. Если при этом окажется, что S проходит через вершину t, то требуемый цикл строится очевидным образом. Пусть S не проходит через t. Тогда рассмотрим простой цикл S ', проходящий через вершины t и a. Такой цикл, по условию, существует. Частью этого цикла является простая цепь Р, соединяющая t с некоторой вершиной v S. Цепь Р можно выбрать так, чтобы

 

VP VS ={ v }. искомый цикл теперь строится точно так же, как в предыдущем пункте.

3) 4). Пусть ab и tz–два ребра графа G. По условию G имеет простые циклы S и S ', первый из которых содержит ab и z, а второй – ab и t. Далее искомый цикл строится так же, как в предыдущих пунктах.

4) 5). Пусть a,b VG, tz EG. Будучи связным, граф G содержит простую цепь P =( a , x ,…, b ). Согласно утверждению 4) а графе G есть простой цикл S, содержащий ребра ax , tz. Легко видеть, что в объединении S P имеется требуемая цепь.

5) 6). Пусть a,b,c VG, cd EG. По условию в графе имеется простая ( a , b )–цепь, проходящая через cd и, следовательно, содержащая c.

6) 1). Пусть v VG. Покажем. Что граф G – v связен, т.е. любая a , b его вершин соединена цепью. Действительно, согласно утверждению 6) в графе G имеется простая ( v , b )-цепь, которая, очевидно, не проходит через v и, следовательно, является ( a , b )-цепью и в графе G – v. Доказано.

    Если в формулировке теоремы 34.1 заменить всюду слова «простая цепь» и «простой цикл» соответственно на слова «цепь» и «цикл», то получим аналогичную теорему о 2–реберно–связном графах.

Как отмечалось выше, при решении многих задач на графах достаточно уметь решать эти задачи для каждой 2–связной компоненты графа. Поэтому представляет интерес взаимное расположение 2–компонент в графе.

Максимальные относительное включения элементы множества связных подграфов графа G, не имеющих точек сочленения, называются его блоками. Таким образом, каждый блок графа либо 2–связен, либо совпадает с К₂ или К₁ (граф К₁ – блок тогда и только тогда, когда он является связной компонентой). Связный граф без точек сочленения также называют блоком.

 

 Множество вершин блока будем называть блоковым множеством.

Например, граф, изображенный на рис. 5.2, содержит пять блоков B_i ( i =1,2,3,4,5) (они обведены пунктирными линиями). Среди этих блоков В₁, В₂ и В₃ –2-связные графы, а каждый из двух оставшихся является ребром.

Утверждение 5.2. Любые два блока графа имеют не более одной общей вершины. В частности, всякое ребро графа входит только в один его блок.

Утверждение 5.3. Если блок графа содержит вершины a и b , то он содержит и всякую простую ( a , b )-цепь этого графа.

Эти утверждения непосредственно следуют из перечисленных в начале параграфа свойств 2–связных графов и теоремы 5.1.

Следствие 5.4. Система блоковых множеств графа является покрытием множеств его вершин. Каждая пара блоковых множеств либо не пересекаются, либо имеют единственную общую вершину, и эта вершина является точкой сочленения графа.

Следующая конструкция дает представление о структуре графа «с точностью до блоков». Пусть В=В{ B_i } и С={ c_i } – соответственно множества блоков и точек сочленения графа G. Сопоставим с G граф bc ( G ), у которого B C – множество вершин и { B_ic_i : B B , c_i C , c_i B_i } – множество ребер. Тем самым, ребра двудольного графа bc ( G ) указывают на принадлежность точек сочленения блоками. На рис. 5.3 представлены графы G и bc ( G ).

Утверждение 5.5. Если граф G связен, то bc ( G )–дерево.

Доказательство:

Очевидно, что из связности графа G вытекает связность графа bc ( G ).

 

Предположим, что bc ( G ) содержит цикл С. Пусть этот цикл имет вид С=( c , b , c , b ,…, c , b , c ). Каждый из блоков B  содержит (с ,с )- цепь и объединение этих цепей дает простой цикл в графе G. Обозначим этот цикл через С'. Ясно, что С' содержит по крайне мере две вершины каждого из блоков B . Поэтому из утверждения 34.3 следует, что цикл С' должен содержаться в каждом их этих блоков. Последнее означает, что каждая пара блоков B  имеет не менее | C '| 3 общих вершин. Получаем противоречие с утверждением 5.2. доказано.

Граф bc ( G ) называется bc –деревом связного графа G.

Блоки графа G, соответствующие концевым вершинам его bc–дерева, называются концевыми блоками.

Похожее представление графа можно получить, положив в основу его максимальные реберно-2-связные подграфы, т.е. максимальные связные подграфы, не содержащие мостов. Такие подграфы называют листами. Не останавливаясь на деталях заметим следующее. Каждая вершина графа порядка n >1 принадлежит в точности одному листу и каждое ребро, не являющееся мостом, входит только в один лист. Таким образом, граф состоит из листов и мостов, соединяющих некоторые из них. Для описания строения графа «с точностью до листов» можно ввести граф, аналогичный графу bc ( G ). Вершины такого графа биективно соответствуют листам графа G и две его вершины соединены ребром в том и только в том случае, когда соответствующая пар листов в G соединена мостом. Можно показать, что введенный таким образом граф является деревом, если исходный граф связен.

На рис. 5.4 граф G имеет 5 листов L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ , L ₅ и 4 моста, а граф G ' показывает, как связаны между собой листы графа G.

Приведем некоторые результаты о трехсвязных графах, которые будут использованы в главе «Планарность».

Пусть G–связный граф, H–некоторый его подграф. Простую открытую цепь . графа G назовем H–цепь, если выполняются условия

v₁ VH, v_k VH, v_i VH, i=

ребро e = uv графа G также будем называть Н–цепь, если u VH , v VH, e EH.

Лемма 5.6. Пусть G –двусвязный граф. Тогда для всякого его подграфа Н, содержащего более одной вершины и отличного от G , существует Н–цепь графа G .

Доказательство

Если Н–остовный подграф, то любое ребро графа G, не входящее в EH, служит Н–цепью.

Пусть подграф не является остовным. Рассмотрим три попарно различные вершины u VH , v VH , w VH. По теореме 5.1 в графе G есть проcтая ( u , v ) – цепь, проходящая через w. Очевидно существование подцепи этой цепи, являющейся Н – цепью графа G. Доказано.

Ниже для u , v VG положим G_uv = G - u - v.

Теорема 5.7. Во всяком 3-связном графе G есть такое ребро uv , что            граф G_uv не имеет точек сочленения. 

Доказательство

Если | G |= n =4, то утверждение теоремы очевидно . Поэтому будем считать, что n 5. Предположим противное, т.е. что для любого ребра uv EG граф G_uv имеет хотя бы одну точку сочленения. Тогда на 3-связности графа G следует, что при любом выборе ребра uv EG граф G_uv обладает следующими свойствами (рис. 5.5):

1) если а – висячая вершина графа G_uv, то av EG , au EG;

2) всякий висячий блок графа G_uv, не являющийся ребром , содержит такую пару вершин с и d, отличных от точек сочленения графа G_uv, что uc EG , vd EG.

3) всякий блок графа G_uv, имеющий ровно две точки сочленения и отличный от ребра, содержит такую вершину l, не являющуюся точкой сочленения графа G_uv, что или ul EG.

 

Обозначим через B_uv максимальный по числу вершин блок графа G_uv, а через t_uv– число вершин в этом блоке . Теперь выберем ребро uv так, чтобы число t_uv было наибольшим.

    Покажем, что в этом случае t_uv 3. Пусть t_uv =2 и а – висячая вершина графа G_uv (являющегося деревом). Так как n 5, то существует ребро cd EG_uv . Из свойства 1) вытекает, что в графе G_cd существует цикл ( u , a , v , u ), т.е. t_cd > t_uv. Получено противоречие, следовательно, t_uv 3.

Через D_uv обозначим bc-дерево графа G_uv и рассмотрим следующие случаи.

1. Дерево D_uv не является цепью. Выберем в этом дереве цепь, соединяющую пару висячих вершин и проходящую через вершину, соответствующую блоку B_uv. Этой цепи соответствует последовательность B₁,…, B_p блоков графа G_uv, среди которых содержится блок B_uv, причем блоки B₁ и B_p являются висячими (рис. 5.6).

Пусть B'– произвольный висячий блок графа G_uv, отличный от B₁ и B_p. Из свойств 1) и 2) вытекает существование таких отличных от точек сочленения графа G_uv вершин a VB₁, b VB_p, c VB', uc EG, va EG, vb EG. Тогда в графе G_uc вершины множества  входят в один блок и, следовательно, t_uv< t_uc. Последнее противоречит выбору ребра uv.

2. Дерево D_uv–цепь и B_uv–блок графа G_uv, не являющийся висячим. Пусть B ₁ ,…, B_p – последовательность всех блоков графа G, причем блоки B ₁ и B_p–висячие, B_i B_{i +1} Ø ( i = ), B_uv = B_k (1< k < p ) (рис. 5.7). Cогласно свойству 3) найдется вершина b VB_uv отличная от точек сочленения графа G_uv, смежная с u или с v. Пусть ub EG. Согласно свойствам 1) и 2)

существует такие отличные от точек сочленения графа G_uv вершины a VB ₁ , c VB_p, что ua EG, vc EG. Легко видеть, что в графе G_vc имеется блок, содержащий все вершины множества . Поэтому t_vc > t_uv , и снова получаем противоречие.

3. Дерево D_uv – цепь и B_uv – висящий блок графа G_uv. Если граф G_uv содержит такое ребро xy, что VB_uv { x , y }=Ø, то, используя свойство 2), легко показать, что в графе G_xy есть блок, содержащий множество вершин VB_uv { x , y }, а, значит t_uv < t_xy. Так как B_uv – висячий блок графа

G_uv, то последнее означает, что граф G_uv состоит из блока B_uv и ребер ab ₁ , ab ₂ ,… ab_l (рис 5.8). Из 3–связности графа G следует, что граф G – а не имеет точек сочленения. Поскольку в графе G – a вершина b ₁ смежна только с вершинами u и v, a uv EG, то граф  также не имеет точек сочленения, что противоречит предположению.

Таким образом , показано ,что во всяком связном графе G существует такое ребро uv, что граф G_uv не имеет точек сочленения. Доказано.

Следствие 5.8. Всякий 3–связный граф с числом вершин n 5 содержит ребро, стягивание которого приводит к 3–связному графу.

Доказательство также проведем от противного. Пусть, стягивая некоторое ребро x = uv 3–связного графа G в вершину , получаем граф G_x, для которого ( G_x )=2 (Равенство ( G_x )=1 невозможно в силу 3–связности графа G). Тогда в графе G_x существуют две вершины, удаление которых делают его несвязным. Одной из них должна быть (в противном случае ( G_x )=2). Удалению вершины  из G_x соответствует удаление вершины u и v из графа G. Поэтому для любого ребра x = uv EG граф G имеет такую вершину w, что граф G – u – v – w несвязен. Вершина w является точкой сочленения графа G_uv, что противоречит предыдущей теореме. Доказано.

Отметим без доказательства следующую теорему.

Теорема 5.9. Почти все ребра двусвязны.

    Поскольку каждый мост инцидентен точкам сочленения графа, то из этой теоремы вытекает

Следствие 5.10. Почти все графы не содержат мостов.

 

Теорема Менгера.

Из теоремы 5.1 следует, что 2–граф связен тогда и только тогда, когда любые две его несовпадающие вершины a и b соединены парой простых (a, b) цепей, не имеющих общих вершин, за исключением a и b. Аналогичный критерий k–связности справедлив при произвольном k.

    Говорят, что множество вершин S разделяет несмежные вершины a и b связного графа G, если в графе G – S вершины a и b принадлежат различным связным компонентам. В этой ситуации множество S называют также сепаратором или ( a , b )–сепаратором. Две ( a , b )–цепи графа G называют непересекающимися, если у них нет общих вершин, за исключением a и b, и реберно–непересекающимися, если у них нет общих ребер. Очевидно, непересекающиеся цепи являются и реберно–непересекающимися, а обратно, вообще говоря, неверно.

    К. Менгер доказал в 1927 году следующую теорему, устанавливающую соотношение между числом непересекающихся простых цепей, соединяющих две несмежные вершины графа, и его связностью.

Теорема Менгера. Наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины графа a и b , равно наибольшему числу попарно непересекающихся простых ( a , b )–цепей этого графа.

Приведем доказательство принадлежащее В. Маквайгу (1982 г.).

Ясно, что если k вершин разделяют a и b, то существует не более k попарно непересекающихся ( a, b)–цепей. Остается показать, что если в графе G нет множества, содержащего менее чем k вершин, разделяющих несмежные вершины a и b, то в нем имеется k попарно непересекающихся цепей. Используем индукцию по k. утверждение правильно при k=1. Предположим, что оно верно для некоторого k 1. Рассмотрим граф G, в котором несмежные вершины a и b нельзя разделить множеством, содержащим менее чем k+1 вершин. По предположению индукции в G имеется k попарно непересекающихся ( a, b)–цепей P₁, P₂, …, P_k. Рассмотрим множество вторых (считая а первой) вершин в этих цепях. Это множество состоит из k вершин и, следовательно, но оно не разделяет вершины a и b. Значит, имеется ( a, b)–цепь Р, первое ребро которой не принадлежит ни одной из цепей P_i (i= ). Пусть v–первая, считая от а, вершина Р, принадлежащая одной из P_i (i= ), и пусть P_k+1 обозначает ( a, v)–подцепь цепи Р. Цепи P₁, …, P_k, P_k+1 могут быть выбраны, вообще говоря, многими различными способами. Выберем их так, чтобы в графе G – a расстояние v до b было минимально. Если окажется, что v= b, то P₁, P₂, …, P_k+1 будет требуемым набором k+1 цепей. Допустим, что v b. Тогда в графе G – v вершины a и b нельзя разделить множеством, содержащим менее чем k вершин. По индуктивному предположению в этом имеется k непересекающихся ( a, b) – цепей Q₁, Q₂, …, Q_k, которые могут быть выбраны разными способами. Выберем их так, чтобы множество

включало минимальное число ребер этих цепей. Иначе говоря, цепи Q_i должны состоять «в основном» из ребер цепей P_i. Рассмотрим теперь граф H, состоящий из вершин и ребер цепей Q₁, Q₂, …, Q_k и вершины v (эта вершина будет в графе H изолированной). Пусть P_r – одна из цепей P_i ( i= ), у которой ребро, инцидентно вершине а, не принадлежит EH. Ясно, что такая цепь среди P_i ( i= ) найдется, поскольку число их равно k+1, а цепей Q_i, составляющих H, только k. Пусть, далее, x–первая, считая от а, вершина P_r, входящая в VH.

Если x= b, то, добавив цепь P_r к Q₁, Q₂, …, Q_k, получим требуемый набор из k+1 (a, b) цепей. Допустим, что x b, и рассмотрим другие возможности для x.

Если x=v, то обозначим через R кратчайшую ( v, b) – цепь и G – a. Пусть z – первая, считая от v, вершина цепи R, лежащая на некоторой Q_j ( j= ). Объединим цепь P_r c ( v, z) – подцепью цепи R и обозначим полученную ( a, z) – цепь через Q_k+1. Цепи Q₁, Q₂, …, Q_k, Q_k+1 обладают тем свойством, что расстояние в графе G – a от z до b меньше, чем расстояние от v до b , а это противоречит выбору P₁, P₂, …, P_k, P_k+1.

    Рассмотрим теперь последнюю возможность: x принадлежит некоторой цепи Q_j ( j= ). В этом случае ( a, x) – подцепь цепи Q_i имеет ребра в L, иначе бы две цепи в { P₁, P₂, …, P_k, P_k+1} пересекались в вершинах, отличных от a, b, v. Заменив теперь ( a, x) – подцепь Q_i на ( a, x) – подцепь P_r, получим непересекающиеся (a, b) – цепи в графе G – v, и эти цепи будут использовать меньше ребер из L, чем Q₁, …, Q_k. Снова получаем противоречие, которое и завершает доказательство теоремы.

Из теоремы Менгера непосредственно вытекает

Теорема 6.1. (Х. Уитни, 1932 г.). граф k–связен тогда и только тогда, когда любая пара его несовпадающих вершин соединена по крайне мере k непересекающимися цепями.

    Имеется несколько аналогов и обобщений теоремы Менгера. Здесь мы остановимся на реберном варианте этой теоремы.

Во многих прикладных задачах приходится рассматривать множество ребер (а не вершин, как ранее), разделяющих вершины a и b графа G, т.е. такое множество ребер R, что входит в различные компоненты графа G – R. Минимальное относительно включения множество R с этими свойствами называется ( a, b) – разрез<