Понятие о кубатурных формулах

Министерство образования Украины

Днепропетровский государственный университет

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

 

Факультет прикладной математики

Кафедра вычислительной механики и прочности конструкций

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по численным методам в механике

на тему

Вычисление кратных интегралов

Методом ячеек

С автоматическим выбором шага

 

 

 

Исполнитель: студент группы ПД-97-1 Коваленко А.В.

Руководитель: профессор Мусияка В.Г.

 

 

Днепропетровск 1999
Содержание

 

1 Постановка задачи                                                                                                                                                2

2 Теоретическая часть                                                                                                                                             2

2.1 Понятие о кубатурных формулах                                                                                              2

2.2 Метод ячеек                                                                                                                                      3

2.3 Последовательное интегрирование                                                                                           5

2.4 Кубатурная формула типа Симпсона                                                                                       6

2.5 Принципы построения программ с автоматическим выбором шага                                8

3 Список использованной литературы                                                                                                               9

4 Практическая часть                                                                                                                                              9

4.1 Решение задачи                                                                                                                                9

4.2 Блок-схема программы                                                                                                                  10

4.3 Листинг программы                                                                                                                        12

4.4 Результаты решения                                                                                                                       13

Постановка задачи

 

Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , где  – область, ограниченная функциями .

 

Теоретическая часть

 

Рассмотрим K-мерный интеграл вида:

                                                                                (1)

где  - некоторая K-мерная точка. Далее для простоты все рисунки будут сделаны для случая K=2.

Понятие о кубатурных формулах

Кубатурные формулы или, иначе формулы численных кубатур предназначены для численного вычисления кратных интегралов.

Пусть функция  определена и непрерывна в некоторой ограниченной области . В этой области  выбирается система точек (узлов) . Для вычисления интеграла  приближённо полагают:

   (2)

Чтобы найти коэффициенты , потребуем точного выполнения кубатурной формулы (2) для всех полиномов

                   (3)

степень которых не превышает заданного числа . Для этого необходимо и достаточно, чтобы формула (2) была точной для произведения степеней . Полагая в (1) , будем иметь:

                     (4)

Таким образом, коэффициенты  формулы (2), вообще говоря, могут быть определены из системы линейных уравнений (4).

Для того чтобы система (4) была определённой, необходимо, чтобы число неизвестных  было равно числу уравнений. В случае  получаем:

2.2 Метод ячеек

 

Рассмотрим K-мерный интеграл по пространственному параллелепипеду . По аналогии с формулой средних можно приближённо заменить функцию на её значение в центральной точке параллелепипеда. Тогда интеграл легко вычисляется:

   (5)

Для повышения точности можно разбить область на прямоугольные ячейки (рис. 2). Приближённо вы­числяя интеграл в каждой ячейке по формуле средних и обозначая через  соответственно пло­щадь ячейки и координаты её центра, получим:

                           (6)

Справа стоит интегральная сумма; следовательно, для любой непрерывной  она сходится к зна­чению интеграла, когда периметры всех ячеек стремятся к нулю.

Оценим погрешность интегрирования. Формула (5) по самому её выводу точна для . Но непосредственной подстановкой легко убедиться, что формула точна и для любой линейной функции. В са­мом деле, разложим функцию по формуле Тейлора:

 

                                        (7)

 

где , а все производные берутся в центре ячейки. Подставляя это разложение в правую и левую части квадратурной формулы (5) и сравнивая их, аналогично одномерному случаю легко получим выражение погрешности этой формулы:

 

                               (8)

 

ибо все члены разложения, нечётные относительно центра симметрии ячейки, взаимно уничтожаются.

Пусть в обобщённой квадратурной формуле (6) стороны пространственного параллелепипеда разбиты соответст­венно на N₁, N₂, …, N_k равных частей. Тогда погрешность интегрирования (8) для единичной ячейки равна:

Суммируя это выражение по всем ячейкам, получим погрешность обобщённой формулы:

 

(9)

 

т.е. формула имеет второй порядок точности. При этом, как и для одного измерения, можно применять метод Рунге–Ромберга, но при одном дополнительном ограничении: сетки по каждой переменной сгу­щаются в одинаковое число раз.

Обобщим формулу ячеек на более сложные области. Рассмотрим случай K=2. Легко сообразить, что для линейной функции  формула типа (5) будет точна в области произвольной формы, если под S подразуме­вать площадь области, а под ­–координаты центра тяжести, вычисляемые по обычным формулам:

 

                            (10)

 

Разумеется, практическую ценность это имеет только для областей простой формы, где площадь и центр тяжести легко определяется; например, для треугольника, правильного многоугольника, трапеции. Но это значит, что обобщённую формулу (6) можно применять к областям, ограниченным ломаной линией, ибо такую область всегда можно разбить на прямоугольники и треугольники.

Для области с произвольной границей формулу (6) применяют иным способом. Наложим на область  сетку из K-мерных параллелепипедов (рис.3). Те ячейки сетки, все точки которых принадлежат области, на­зовём внутренними; если часть точек ячейки принадлежит области, а часть – нет, то назовём ячейку гра­ничной. Объём внутренней ячейки равен произведению её сторон. Объёмом граничной ячейки будем считать объем той её части, которая попадает внутрь ; этот объём вычислим приближённо. Эти площади подставим в (6) и вычислим интеграл.

Оценим погрешность формулы (6). В каждой внутренней ячейке ошибка составляет  по отношению к значению интеграла по данной ячейке. В каждой граничной ячейке относительная ошибка есть , ибо центр ячейки не совпадает с центром тяжести входящей в интеграл части. Но самих граничных ячеек примерно в  раз меньше, чем внутренних. Поэтому при суммировании по ячейкам общая погрешность будет , если функция дважды непрерывно диф­ференцируема; это означает второй порядок точности.

Вычисление объёма граничной ячейки довольно трудоёмко, ибо требует определения поло­жения границы внутри ячейки. Можно вычислять интегралы по граничным ячейкам более грубо или во­обще не включать их в сумму (6). Погрешность при этом будет , и для хорошей точности потре­буется более подробная сетка.

Мы видели, что к области произволь­ной формы метод ячеек трудно применять; поэтому всегда желательно заменой переменных преобразовать об­ласть интегрирования в прямоугольный параллелепипед (это относится практически ко всем методам вычисления кратных интегралов).