Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси.

 

Рассмотрим систему стандартного вида

          (s=1,2)                                        (1)

Уравнение Ван-дер-Поля также можно привести к системе стандартного вида:

 

                            (2)

 

Сделаем замену

 

,

 

тогда:                                                                                               (3)

 

Будем считать                  = .

Среднее значение функции  за период 2 :

 

 

При этом усреднении интегрирование ведется по третьей переменной t в предположении, что  и  от t не зависят.

 

Наряду с точной системой рассматривается приближенная

 

,    (s=1,2).

 

Обе системы, приближенная и точная, решаются при начальных условиях

 

                                                                                                 (4)

 

Для задач Коши (1) и (4), (3) и (4) справедлива следующая теорема:

 

Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных  функции  непрерывны и ограничены. Функции  также непрерывны и ограничены в области Г. — 2 -периодические по t. Функции и — удовлетворяют условию Липшица по переменным  и  (при этих условиях существует и единственно решение). Тогда для  и L>0:

 

                                                                                               (5)

 

                                                    0                                                   (6)

 

Доказательство:

Решение задач Коши (1) и (4), (3) и (4) существует и единственно. Поэтому решение (1) и (4) будем искать методом приближений.

Обозначим

 

                   (*)

 

Функция — 2 -периодическая по .

Пусть

                                              (7)

 

 удовлетворяет условиям Липшица по переменным и . Проинтегрируем функцию :

 

.

 

Интеграл     и  поэтому

 

                                                                                              (7a)

 

В промежутке  находятся те значения t, для которых будет существовать решение (1) - (4) и оно не выйдет за пределы области G. Это характеризуется так

 

Из теоремы Пикара следует, что при всех таких t приближенное выражение сходится к решению задачи Коши:

 

  — целую часть от деления обозначим N. Тогда — дробная часть

 

,

 

где — остаточный интервал.

С учетом возможности такого разбиения

 

Если рассмотреть , то последнее выражение перепишется в виде:

 

= ,

 

где с учетом (4)

 

=

 

 

Рассмотрим интеграл при

 

 

и  от  не зависят. Из равенств (7а) следует, что последнее выражение равно нулю .

 

Вычислим

 

То есть

 

 

                          (8)

 

Мы можем сказать, что в (8), все, что стоит под знаком суммы

 

 

Так как

 

,

то последнее неравенство равносильно следующему:

 

 

 

 

Поэтому:

 

= ,                              (9)

 

где

 

                                            (10)

 

 

— удовлетворяет условию Липшица, поэтому мы можем воспользоваться этим, переходя к оценкам

 

                         (11)

 

                                     (12)

 

 

Пусть ,            причем , тогда:

 

                               (13)

 

Оценим

 

                                    (14)

 

Фактически нужно оценить величину .

 

 

Используем условие Липшица для , тогда последнее неравенство

 

(последняя оценка получена с помощью неравенства (11)).

                                     (15)

                                (16)

 

Можно увидеть следующую закономерность

 

                                               (17)

 

По методу математической индукции, для  оценки верны. Покажем их справедливость и для

 

 

Используя формулу (13), далее получим:

 

                     (18)

 

Теперь в этом неравенстве перейдем к пределу при

                                 (19)

 

Обозначим через

 

 

Так как мы пользовались условиями Липшица, нужно убедиться, что приближения не выходят из области G.

 

— по теореме Пикара это не выходит за пределы области G, то есть

 

 

В силу плотности числовой прямой

 

, где                           (20)

Проверим, вышло ли первое приближение за пределы области G. Пользуясь оценками (19) и (20), имеем:

 

Возьмем

,

тогда

 

Аналогично проверяем второе приближение

 

Возьмем

, тогда

 

И если

,

если

Если мы перейдем к перейдем к пределу при , то получим:

                                         (21)

Если мы  будем выбирать из условия (21), то использование условия Липшица законно.

  необходимо согласовывать с  с помощью (21) и

 

Решение уравнения

 

 

Рассмотрим уравнение

 

                                                                                        (1)

 

Данное уравнение второго порядка описывает колебательное движение. Здесь ω – некоторая действительная постоянная, а ε – малый параметр.

Делаем в уравнении (1) замену:  тогда получим систему

 

                                                                                         (2)

Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и , полагая здесь и далее , согласно формулам

 

                                                                                                       (3)

 

Далее, дифференцируем (3) по t, считая и φ .

 

                                                   (4)

 

Подставим (4) в (2), учитывая (3).

 

 

                                        (5)

 

Разрешим эту систему относительно

 

 

Домножим второе уравнение на

,

тогда имеем:

 

                                         (6)

 

Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1). Соответствующая системе (6) усредненная система имеет вид

                                                                                            (7)

 

В системе (7)  и  имеют вид:

 

то есть

 

 

                      

 

Таким образом имеем

 

или

 

                                                                                       (8)

 

Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды в зависимости от времени, необходимо решить первое уравнение системы (8):

 

                      

 

Умножим обе части равенства на :

 

.     

 

Сделаем замену

             

 

,

умножаем обе части равенства на :

              

 

Так как ,

то тогда ,

или

 

 

    Предположим, что , тогда  

 

;       ;

 

+ .

Отсюда находим

 

                         (9а)

 

Колебания представятся следующим образом (находим выражение для приближенного значения x в явном виде)

 

                                                          (9)

 

Найдем

 

Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение , малое или большое, все равно  при .

Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды =0, амплитуда останется равной нулю для любого t, и, следовательно, получим х=0, то есть тривиальное решение уравнения (1). Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому режиму, то есть отсутствию колебаний в системе.

Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям, равным . Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматически возбуждаются колебания с амплитудой, то есть система самовозбуждается.

Из выражения (9) следует, что если , то , и для любых   очень быстро приближается к значению  независимо от . Это решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму:

 

                                        (10)

 

Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы.

Режимы с постоянной амплитудой, для , приводят к уравнению

 

А = =0                                    

 

 .     

 

Корни этого уравнения   ;

 

;          <0  

 

Таким образом,  соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а  соответствует устойчивому предельному циклу.

Для любого заданного положительного сколь угодно малого значения параметра  всегда можно найти такое достаточно малое значение параметра , для которого уравнение (1) или, что то же самое, система (2), имела бы предельный цикл, лежащий в окрестности окружности , причем этот предельный цикл устойчив, если , и неустойчив, если . Все эти рассуждения следуют из теоремы Мандельштама и Папалекси.

Наряду с точной системой рассматривается приближенная

 

, (s=1,2) .

 

Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных  функции  непрерывны и ограничены. Функции  также непрерывны и ограничены в области Г. — 2 -периодические по t. Функции и — удовлетворяют условию Липшица по переменным  и  (при этих условиях существует и единственно решение). Тогда для  и L>0 : , 0 ,

 

где              (s=1,2)            =

                 (s=1,2)

 

Проверим выполнение условий теоремы для нашего уравнения. Из системы (6) находим  и :

 

 

Очевидно, что  и  непрерывны.

, из этих неравенств видно, что  и  ограничены для любого конечного . Функции  и  для системы (2) имеют вид:

 

.

 

Из последней системы видно, что  и  непрерывны и ограничены для любого конечного .  и — периодические по t с любым периодом, в том числе и . Функции  и ,  и  непрерывно дифференцируемы по t, а следовательно удовлетворяют условию Липшица.

Пусть  и — решения точной системы (6). Тогда для  и  : , .                                                    

( В нашем случае ,  определяется уравнением (9а)).

Выводы

 

В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.

В заключение заметим, что метод Ван-дер-Поля позволил исследовать достаточно широкий круг задач нелинейной механики (с одной степенью свободы), и задач радио- и электротехники, обладает наглядностью и удобен для проведения расчетов. Благодаря этому методу созданы генераторы стационарных колебаний в радиоприемных и радиопередающих устройствах, которые используются и по сей день в современной технике. В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.

 

Список использованной литературы

 

 

1. Ю.А. Митропольский Метод усреднения в нелинейной механике, «Наукова думка» Киев — 1971г.

2. Н.Н. Моисеев                   Асимптотические методы нелинейной механики, М.: Наука, 1981г.

3. А. Найфэ Методы возмущений. Издательство «Мир», Москва—1976г.

4. А. Найфэ Введение в методы возмущений. «Мир», 1984г.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Физматгиз, М.,1959г.