Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса

Найти произведение заданных матриц А и В

 

 

Решение:

 

Матрицы: А - размерность , В-размерность .

Так как количество столбцов матрицы: А равно количеству строк матрицы В, то произведение А на В существует.

Итоговая матрица имеет размерность :

 

Ответ:

 

Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса

 

Решение:

а) Решим систему по формулам Крамера

Для системы 3-х линейных алгебраических уравнений

 

 

если  ¹ 0, можно найти единственное решение по формулам Крамера:

 

, , .

∆ = ; D₁= ; D₂= ; D₃= ;

 

Найдем значение определителя ∆ по формуле:

 

 

Аналогично вычислим значения определителей D₁, D₂, D₃

∆ = 2·1·3 +4·2·(-2)+4·(-5)·(-1) - (-2)·1·(-1) - 4∙4·3-2·2·(-5)= -20 ¹ 0

D₁= -8·1·3 +4·2·18+14·(-5)·(-1) - 18·1·(-1) - 14∙4·3 - (-8)·2·(-5)=-40

D₂ = 2·14·3 +(-8)·2·(-2)+4·18·(-1) - (-2)·14·(-1) - 4∙(-8)·3-2·2·18=40

D₃= 2·1·18 +4·14·(-2)+4·(-5)·(-8) - (-2)·1·(-8) - 4∙4·18-2·14·(-5)=-80

Сделаем проверку:

Получили равенства.

Ответ:

б) Решим систему матричным методом

Систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде: А ∙ X = В, где А - матрица системы из коэффициентов при неизвестных,

Х и В-матрицы - столбцы из неизвестных , ,  и свободных членов соответственно:

 

. ; .

 

Для нахождения неизвестных используется формула Х = А^-1 ∙ В, где А^-1 - обратная матрица к квадратной матрице А

Обратная матрица вычисляется по формуле:

 

А^-1= ∙А^Т, где А^Т =  - транспонированная матрица к

 

- главный определитель матрицы А,

А_ij - это алгебраическое дополнение равное A_ij = (-1)^i+jМ

Минор  - это определитель, полученный из главного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца

Для исходной системы:

 

 

Найдем обратную матрицу. Значение главного определителя известно:

∆ = -20 ¹ 0

Найдем алгебраические дополнения А_ij:

;

Умножая обратную матрицу А^-1 на , получаем матрицу .

Ответ:

в) Решим систему методом Гаусса

Это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы.

В первом уравнении выбираем коэффициент, отличный от нуля. Затем 1-ое уравнение делим на этот коэффициент, и далее с помощью первого уравнения исключаем первое неизвестное из всех уравнений, кроме первого (вычитанием).

Применим метод Гаусса, составив таблицу:

 

	Комментарий
	2 4 -2	4 1 -5	-1 2 3	-8 14 18
	1 4 -2	2 1 -5	-1/2 2 3	-4 14 18	1-ю строку разделили на 2
1 шаг	1 0 0	2 -7 -1	-1/2 4 2	-4 30 10	1-ю строку умнож. на (-4) и склад. со 2-й 1-ю строку умнож. на 2 и складыв. с 3-й
2 шаг	1 0 0	2 1 -1	-1/2 -4/7 2	-4 -30/7 10	2-ю строку разделили на (-7)
3 шаг	1 0 0	2 1 0	-1/2 -4/7 10/7	-4 -30/7 40/7	2-ю строку слож. с 3-й
4 шаг	1 0 0	2 1 0	-1/2 -4/7 1	-4 -30/7 4	3-ю строку делим на 10/7

 

После проделанных операций система привелась к треугольному виду

 

 

Начинаем обратный ход метода Гаусса.

 

Ответ:

 

3. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис в пространстве R ³ , и найти координаты вектора а в этом базисе.

Решение

 

Вычислим определитель, столбцами которого служат координаты векторов а₁, а₂, а₃:

Так как Δ ≠ 0, то система векторов а₁, а₂, а₃ образует базис в R³. Вектор а₄ разлагается по векторам этого базиса, т.е. справедливо равенство вида

 

 

Последнее равенство в координатной форме имеет следующий вид:

 

 

Согласно определению равенства векторов и действиям над векторами получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными :

 

 

Решим эту систему методом Крамера:

 

Ответ: