Математический аппарат.

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОФИЛЯ ОТРАЖЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ ФИЛЬТРОВ ИЗЛУЧЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДУЛИРОВАННЫХ СВЕРХРЕШЕТОК

 

Содержание.

 

1. Введение.                                                             3

2. Математический аппарат.                                             6

3. Немодулированные бинарные структуры.        11

4. Модулированные бинарные структуры.           16

4.1 . Ступенчато модулированные решетки.                 16

4.2 . Решетки со стековой модуляцией.                         21

4.3 . Бинарные решетки с гауссовыми модуляциями.  25

5. Заключение.                                                          35

6. Приложение.                                                                     38

7. Список использованной литературы.                 42                                                                                                                                                                                                          

 

 

Введение.

 

    Бинарные периодические структуры, как известно, обладают как частотными зонами с предельно малым пропусканием, так и зонами с малым отражением. Данное свойство служат основой для использования таких сред в качестве, например, селективных частотных фильтров, или управляемых зеркал. Свойство это основано на многолучевой интерференции, дающей минимумы в одних частотных диапазонах и максимумы в других. Некоторые из этих зон (пропускания или отражения) являются «хорошими»: то есть гладкими и с вертикальными краями. Некоторые же являются сильно возмущенными, что затрудняет их использование для управления излучением.

 

    В работе главным ограничением являются показатели преломления. Было предложено использовать вещества с показателями преломления 1.44 и 2.0 или 1.44 и 2.2, из-за того, что остальные вещества являются либо нетехнологичными и, соответственно, представляют собой чисто теоретический интерес, либо нестойкими к лазерному излучению, что приводит к их скорому разрушению. Следующим ограничением является частотный диапазон. Рабочая частота, то есть минимумы и максимумы отражения должны лежать в видимом диапазоне, что соответствует циклической частоте 1.5 * 10¹⁵ – 3.5 * 10¹⁵ Гц. Так как показатели преломления являются величинами жестко зафиксированными, то при модуляции предложено изменять толщины слоев, модулируя, таким образом, оптический путь.

 

    В [1] было предложено использовать модулированный потенциальный барьер для получения гладких зон пропускания и отражения для электронных волн. В [2] была применена та же идея для сглаживания функции пропускания в соответствующих зонах оптического излучения. Более общая физическая теория подробно описана в [5] и, более применительно к данной теме, в [6]. Математическое обоснование всего проекта (как для расчетов, так и для написания программы) детально разработано в [3] и, применительно к данному случаю, в [4]. Наиболее же полная математическая идея общно и подробно изложена в [7].

 

     В данном проекте рассматривается профиль отражения на частоте лазерного излучения. Было предложено три вида модуляции. Это «ступени» - скачкообразное изменение оптического пути с постепенным общим повышением или понижением значений. «Стеки» - набор из нескольких квазигармонических периодов изменения значений. И, наконец, «гауссианы» - здесь происходит изменение оптического пути по функции Гаусса - exp(-x²/s²), где параметр s - ширина всей структуры. При этом рассматривается модуляция для разного числа слоев в структуре.

 

    Так же обсуждаются дальнейшие перспективы той или иной оптимизации, как то – возможности расширения зон отражения, получение более вертикальных и менее возмущенных краев этих зон, получение максимально возможного отражения или пропускания излучения, что, в свою очередь, означает обсуждение перспектив получения реально действующих поляризационных затворов, оптических фильтров и управляемых зеркал.

 

Следует оговорить обозначения принятые в этой работе. На графиках зависимостей отражения волны от частоты (они же называются профилями отражения) по оси абсцисс откладывается циклическая частота падающего излучения, а по оси ординат показатель отражения (отношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей). А на графиках-изображениях оптического пути по оси абсцисс откладываются номера слоев, а по оси ординат соответствующие им произведения толщин на показатели преломления слоев. На самом деле это не вполне графики, в том смысле, что реально это набор дискретных точек. Трудно, ведь, представить себе слой под номером 2.4, например. Линии же существуют для очевидности этих точек и общей модуляции структуры. В местах с наиболее интересными (с точки зрения автора) результатами будут приводиться также и графики-схемы самих структур. Там по оси абсцисс отложены номера слоев, а по оси ординат толщины этих слоев. Замечания, относящиеся к графикам-изображениям оптического пути, остаются в силе и для этих графиков-схем.

 

    Во всей работе показатели преломления слоев имеют значения 1.44 и 2.2. Это связано с тем, что наилучший результат получается при большой разбежке в показателях преломления ([2] – там использованы значения 1.44 и 3.48). Но такие вещества не стойки к излучению. Были проведены вычисления для показателей преломления 1.44 и 2.0, но результаты оказывались всегда чуть хуже.

 

 

        

 

 

Математический аппарат.

        

    Современная оптика базируется на уравнениях Максвелла

        

Ñ ^х E = - B                     Ñ B = 0

                                                                                             (1)             Ñ ^х H = j + D             Ñ D =  4pr ,

 

где векторы E и D характеризуют электрическое поле, а B и H - магнитное, r - объемная плотность электрического заряда, j – плотность электрического тока. Максвелл также дополнил систему (1) системой материальных уравнений, отражающей свойства среды, в которой находятся заряды и токи:

 

    D = E , B = mH , j = s E ,             (2)

где - диэлектрическая проницаемость, m - магнитная проницаемость, s - удельная электропроводность среды.

 

    При падении плоской монохроматической волны

 

Н(r, t) = H₀e^{i(kmr - wt)}, k = w/c               (3)

 

на границу раздела однородных анизотропных сред возникают отраженные и преломленные волны с одинаковой экспоненциальной зависимостью exp (ikbr) от тангенциальной составляющей r_t радиус-вектора r [8], где b = Im – тангенциальная составляющая вектора рефракции m падающей волны (br = br_t).

    Зависимость векторов поля в среде от нормальной компоненты

z = qr вектора r в общем случае не является экспоненциальной. В анизотропных средах отраженные волны могут иметь различные нормальные составляющие векторов рефракции.

    В рассматриваемом случае поле отраженной волны в анизотропной среде описывается [3] функциями вида:

 

     = e^{i(kbr - wt)}               (4)

 

    Аналогичной [3] зависимостью от координат характеризуются поля, возбуждаемые волной (3) в системах однородных плоскопараллельных слоев.

    Для таких полей ротор сводится к оператору q^x  + ikb^x и уравнения Максвелла (1) принимают вид

                  

    (q^x  + ikb^x)H = -ikD                         (5)

    (q^x  + ikb^x)E = ikB

    Умножая уравнения (5) на вектор q, получаем соотношения

 

    qD = aH , qB = -aE , a = b q                      (6)

 

    При нормальном падении (b = 0) поле (4) представляет собой плоскую волну. Нормальные компоненты векторов электрической и магнитной индукции такой волны равны нулю: qD = qB = 0. Векторы электромагнитного поля в линейной среде связаны уравнениями

 

    D = E , B = mH ,                                     (7)

 

где  и m - тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей. В общем случае поглощающей анизотропной среды, обладающей собственной или вынужденной гиротропией [9],  и m - комплексные несимметричные тензоры.

    Уравнения связи (7) и соотношения (6) образуют систему восьми линейных скалярных уравнений для двенадцати декартовых компонент векторных функций E(z), D(z), H(z), B(z) вида (4). Поэтому лишь четыре из этих компонент линейно независимы. В качестве независимых функций удобно выбрать тангенциальные компоненты векторов напряженности электрического и магнитного полей, так как они непрерывны на границе раздела слоев. Выражая из уравнений (6) и (7) нормальные компоненты через тангенциальные составляющие и используя тождество [3] H = H_t +q qH , получаем

 

     = V   , где                                 (8)

 

V =           -               (9)

 

матрица восстановления [10] полных векторов H и E по их тангенциальным составляющим H_t и E_t , а = q q, = q q.

    С учетом соотношения (8) систему уравнений (5) можно представить в матричном виде [11]

 

     = ikM          ,                               (10)

 

 

где

 

    М =                                                                   (11)

 

- блочная матрица, составленная из операторов (12)

 

    A = q^x qa - bq I

B = I I - b b                                            (12)

C = - a a - q^x q^x

D = - aq q^x - I qb

 

здесь  и  - тензоры, взаимные к транспонированным тензорам

 и  соответственно.

 

    В прозрачных средах  и  - эрмитовы: ,  при вещественном параметре b имеют место равенства

              B⁺ = B, C⁺ = C, D⁺ = A                            (13)

    В координатной записи уравнение (10) представляет собой систему  четырех линейных дифференциальных уравнений для тангенциальных составляющих векторов H и E. Подобная система рассматривалась в [12].

    Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами выражается через экспоненциал от матрицы коэффициентов этой системы.

    В нашем случае [7] имеет место

     = P , P = , F= (14)

    Р – характеристическая матрица плоскослоистой анизотропной системы, которая связывает значения полей на первой и последней границах системы. Для системы из N-1 слоев матрицу Р можно представить в виде

 Р = Р_N-1P_N-2…P_P…P₁, где Р_Р = , р = 1, 2, …,N-1 – характеристическая матрица р-го слоя.

    Если в пределах некоторого слоя значения функции М( ) в двух произвольных точках ₁ и ₂ коммутируют между собой, то есть

М( ₁) М( ₂) = М( ₂)М( ₁) , _1,2 Î [z_P-1, z_P], то матрица Р этого слоя принимает вид [7] P = exp (ik ). Для однородной среды соответствующий интеграл сводится [4] к экспоненциальному оператору

Р = exp (iklM), где l – толщина слоя.

А такое уравнение легко алгоритмизуется. Ниже будет приведен листинг программы с комментариями.