Мгновенная, средняя и полная мощности ГК

Пусть в ЭЦ под воздействием гармонического напряжения:

,

возникает гармонический ток:

.

При согласном выборе направлений отсчета напряжения и тока мгновенная мощность в этой цепи определяется выражением:

.

Если в этом равенстве заменить произведение тригонометрических функций их суммой, то из выражения:

,

следует, что в режиме ГК мгновенная мощность потребляемая цепью, содержит постоянную составляющую, относительно которой она претерпевает периодические колебания с частотой 2w.

Положительным значением мгновенной мощности соответствует потребление цепью электрической энергии. Отрицательные же ее значения свидетельствуют о том, что в данный момент цепь не потребляет, а отдает электрическую энергию. В ЭЦ содержащих реактивные (пассивные) элементы это возможно за счет энергии, запасенной в магнитном (L) и (или) электрических (С) полях данных элементов на протяжении предшествующей части периода колебаний, когда значения мгновенной мощности были положительны. В ТЭЦ широко используется понятия средней или активной мощности. Применительно к рассматриваемому режиму ГК это постоянная составляющая последнего выражения:

.

Здесь  представляет собой разность фаз колебаний напряжения и тока. Таким образом, средняя мощность пропорциональна амплитуде напряжения и тока в ЭЦ и косинуса сдвига фазы между ними.

В пассивной ЭЦ средняя мощность не может принимать отрицательных значений, иначе нарушался бы принцип сохранения энергии . Разность фаз гармонического напряжения и тока в цепи не может выходить за пределы:

, т.к  и  положительны.

Для периодических, и в частности, ГК средняя мощность определяется как отношение энергии за период к величине этого периода:

.

Средняя мощность относится к числу усредненных, т.е. статистических характеристик колебательных процессов. В ЭЦ к ним же относятся и среднеквадратические значения напряжений и токов.

; .

Подставляя в эти выражения гармонические напряжения и ток, находим:

; .

U и I – называют действующими (эффективными) значениями напряжения и тока ГК.

Если перейти от амплитуд колебаний к их действующим значениям, то для средней мощности потребляемой пассивным двухполюсником находится типовое выражение:

.

Действующее значение напряжения и тока на входе двухполюсника связаны зависимостью:

 поэтому,

Т. к.  и  где R и G активные составляющие соответственно сопротивления и проводимости двухполюсника, то

.

В этих выражениях квадрат действующего значения тока  можно представить как произведение комплексного тока  на сопряженную с ним комплексную величину .

Тогда , т.к по закону Ома , то .

Следовательно, средняя мощность, потребляемая двухполюсником, равна вещественной части произведения комплексного напряжения на входе двухполюсника и комплексной величины, сопряженной с комплексным током, проходящим через входные зажимы двухполюсника.

Пример: определить среднюю мощность ГК при

 и .

Найдем комплексно сопряженный ток , тогда

если действующее значение напряжения выбрано в вольтах, а тока – в амперах.

Рассмотрим произведение вида:

Сумма  получило название комплексной мощности, а произведение – мощность в ЭЦ гармонического тока в комплексной форме.

Действительная часть комплексной мощности  – средняя (активная) мощность.

Мнимая часть комплексной мощности  – реактивная мощность.

Произведение действующих значений напряжения и тока – называется полной или кажущейся мощностью :

.

Полная и реактивная мощности оцениваются в вольт - амперах.

Реактивная мощность может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для элемента индуктивности  реактивная мощность положительна. Она характеризует максимальное значение энергии, запасаемой в индуктивности при гармоническом токе с амплитудой :

.

Для элемента емкости, реактивная мощность отрицательна. Связь полной, средней и реактивной мощностей определяется соотношением

; .

Значения средней мощности и полной мощности равны, если  т.е. когда сопротивление двухполюсника чисто активно (резистивно). В общем же случае  т.к .

Проблема повышения значения “косинуса Фu” (коэффициент мощности) является одной из важнейших проблем энергетики. Это и понятно, т.к если , то необходимую полезную работу можно получить от приемника энергии при наименьшем токе в соединительных проводах, т.е. при данных значениях U и I от источника в нагрузку поступает необходимая средняя мощность.

Поскольку комплексные напряжения и токи всегда удовлетворяют законам Кирхгофа, то к ним применима теорема Теледжена, согласно которой:

*

, и как следствие

 и .

Здесь можно ввести понятие условий баланса мощностей. Эти условия могут использоваться для проверки решений задач анализа режима ГК символическим методом.

Вывод: определение необходимых значений мощностей ГК в ЭЦ позволяет осуществить инженерный анализ результатов расчета на их правильность выполнения и оценить энергетическую эффективность всей ЭЦ или ее участка.