Расчет поля одного витка

Метод расчета поля одного витка относится к аналитическим. Для определения величины индукции магнитного поля воспользуемся вспомогательным векторным потенциалом . При расчете используем модель одного витка в виде кольцевого проводника, у которого диаметр провода значительно меньше диаметра витка. Это применимо, так как диаметр витка катушки составляет 34 ¸ 49 мм, а диаметр провода 0,18 мм. Согласно формуле (22), элемент проводника  имеет векторный потенциал . Таким образом, векторный потенциал всего витка можно определить интегрированием (22) по углу α в цилиндрической системе координат /3, с.112/. Учитывая, что векторный потенциал имеет такое же направление, что и ток в элементе проводника, получаем, что векторный потенциал  содержит только α - составляющую.

Поле одного витка в цилиндрической системе координат представляется на рисунке 6.

Рисунок 6 - Поле одного витка

Угловой компонент вектора  определяется интегралом /3, с.112/:

 (23)

где .

Решение интеграла приводится в /3, с.112/ и имеет вид:

 (24)

Здесь K и N - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, функции табулированные:

 (25)

 (26)

Где

 (27)

В источнике /3, с.112/ приводятся выражения для проекций вектора магнитной индукции, которые также можно получить из формул (11) и (19):

 (28)

 (29)

 (30)

Из формул (28), (29) и (30) следует, что вектор магнитной индукции содержит две составляющие: радиальную (29) и осевую (30).

Выражения (29) и (30) полностью определяют магнитное поле одного витка в областях, не занятых током.

Направление определяется отношением радиальной и осевой составляющих, а модуль магнитной индукции, в Тл, определяется по формуле:

 (31)

Из рисунка 6 видно, что на оси витка силовые линии проходят перпендикулярно плоскости витка, следовательно, радиальная составляющая отсутствует.

Так как формулы (29) и (30) являются решениями для одного кольцевого проводника с током, то для нахождения решения для всей катушки следует проинтегрировать эти выражения по всем областям, занятым током.

Первое интегрирование следует провести по всей длине катушки, тогда будет получено решение для одного слоя витков с заданным радиусом. Второе интегрирование - по радиусу витков, в результате получим выражение для всей катушки с током.

Радиальная составляющая индукции магнитного поля катушки:

 (32)

Осевая составляющая:

 (33)

Так как выражения (29) и (30) уже содержат полные эллиптические интегралы, то выражения (32 и (33) и их решения будут содержать еще более сложные функции. Поэтому для решения применим численный метод прямого интегрирования.

Сущность метода состоит в замене интегралов суммами, а дифференциалов - приращениями. Точность определяется выбором шага квантования.

 (34)

 (35)

При выборе шага квантования следует учесть такие критерии, как точность расчета, время расчета, и некоторые другие. Точность расчета напрямую зависит от шага квантования - чем меньше шаг, тем выше точность, но значительно увеличивается время, необходимое для расчета.

Основной задачей дипломного проекта является определение магнитного поля в каждой точке пространства в любой момент времени. Для определения индукции МП в заданной точке следует определить величины  в уравнениях (34) и (35). Они влияют на точность расчета в указанной точке. Так как реально обмотка катушки состоит из конечного числа витков, и провод имеет конечную толщину, равную 0,18 мм, то шаг квантования должен быть не более данной величины. Примем  равным 0,1мм.

Для определения картины поля в пространстве в данный момент времени необходимо определить, в каких точках пространства будет определена магнитная индукция, то есть с каким шагом. Так как катушки имеют ось симметрии, то все поле будет симметричным, и остается рассчитать поле в одном сечении катушки (при фиксированном α). Наибольшее распространение среди датчиков для измерения параметров магнитного поля получили датчики Холла и магнитоуправляемые ИС. Датчик Холла ДХК-0,5а имеет размеры 4х4х2 мм и чувствительность до 5 ÷ 10 мкТл, следовательно, применение намного меньшего шага квантования нецелесообразно. Примем шаг квантования по R_Q и Z_Q равным 1мм.