Методические аспекты построения и анализа электродинамических уравнений Максвелла

В.В. Сидоренков, МГТУ им. Н.Э. Баумана

На основе первичных фундаментальных соотношений электромагнетизма - закона Кулона взаимодействия неподвижных электрических точечных зарядов и закона сохранения электрического заряда цепочкой последовательных физико-математических рассуждений построена система дифференциальных уравнений Максвелла классической электродинамики.

В курсе общей физики при изложении природы электричества [1] концепция электромагнитного поля является центральной, поскольку посредством такого поля реализуется один из видов фундаментального взаимодействия разнесенных в пространстве материальных тел. Физические свойства указанного поля математически представляются системой функционально связанных между собой уравнений в частных производных первого порядка, первоначальная версия которых была получена во второй половине XIX века Дж.К. Максвеллом [2] обобщением эмпирических фактов. В структуре этих уравнений, описывающих поведение электромагнитного поля в неподвижной среде, заложена основная аксиома классической электродинамики - неразрывное единство переменных во времени электрического и магнитного полей. В современной форме такая система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

(a) , (b) ,

(c) , (d) . (1)

Здесь векторные поля: электрической  и магнитной  напряженности, соответственно, электрической  и магнитной  индукции, а также плотности электрического тока ;  и  - абсолютные электрическая и магнитная проницаемости,  - удельная электрическая проводимость материальной среды, - объемная плотность стороннего электрического заряда.

Покажем, как на основе первичных фундаментальных соотношений электромагнетизма - закона Кулона взаимодействия электрических точечных неподвижных зарядов

 (2)

и закона сохранения электрического заряда [1]

 (3)

цепочкой последовательных физико-математических рассуждений можно построить систему электродинамических уравнений Максвелла (1). Представляется, что логика таких рассуждений позволит обучаемым яснее и глубже понять сущность корпускулярно-полевого дуализма природы электричества.

Фундаментальность закона Кулона (2) состоит в том, что его посредством описывается силовое взаимодействие разнесенных в пространстве неподвижных электрически заряженных материальных тел, где для изучения следствий такого взаимодействия вводят понятие электрического поля в виде напряженности – силы Кулона на единицу заряда: , где  - пробный точечный заряд. Топология структуры электрического поля точечного заряда  такова, что интеграл от этой функции по сфере любого радиуса константен: , а при использовании понятия телесного угла несложно убедиться: поток вектора поля электрической индукции (смещения)  через произвольную замкнутую поверхность S тождественно равен суммарному стороннему электрическому заряду  в объеме  внутри этой поверхности, причем на самой указанной поверхности посредством интегрирования поля электрической индукции  определяется индуцируемый поляризационный электрический заряд , так что :

.

Такие рассуждения называют электростатической теоремой Гаусса. Она описывает результат электрической поляризации. Правда, обычно в физические подробности процесса поляризации не вникают, а потому в данной теореме о заряде  в теореме просто не говорят. Здесь надо иметь в виду, что равенство нулю суммарных величин указанных зарядов, соответственно, электрического потока: , вовсе не означает отсутствие электрического поля в этой области пространства, поскольку электрические заряды бывают положительными и отрицательными, и указанное поле может создаваться электронейтральными источниками, например, электрическими диполями. Это свойство электростатического поля качественно отличает его от ньютоновского поля тяготения, где источники такого поля – гравитирующие массы имеют один знак. В системе электродинамических дифференциальных уравнений (1) теорема Гаусса представлена (см. теорему Гаусса-Остроградского) соотношением (1b), описывающим результат электрической поляризации среды, где в случае электронейтральности ( ) среды оно имеет вид .

Воспользуемся теперь другим первичным фундаментальным законом электромагнетизма - законом сохранения электрического заряда (3), структурно представляющим собой уравнение непрерывности. Закон гласит: изменение заряда в данной точке пространства  единственно возможно лишь за счет транспорта зарядов извне , ведь по определению (теорема Гаусса-Остроградского) дивергенция - это объемная плотность потока векторного поля в данной точке. Тогда подстановка в (3) уравнения (1b) дает формулу . И с учетом того, что для любого векторного поля , получаем еще одно уравнение обсуждаемой здесь системы:  (1с). Это уравнение обычно называют законом полного тока: электрические токи проводимости и смещения порождают вихревое магнитное поле, силовые линии векторов напряженности  которого охватывают линии этих токов.

Итак, в области существования движущихся зарядов и переменных во времени электрических полей , то есть в уравнении (1с) функция  является чисто вихревой, а потому для математического уточнения данной топологии магнитного поля введем соотношение . Тем самым получим следующее уравнение системы (1) – уравнение (1d). Поскольку дивергенция - объемная плотность потока векторного поля в данной точке, то уравнение  способно описать не только вихревые свойства функции , но и ее потенциальную версию, случай когда . В этой ситуации соотношение (1d) математически представляет физический результат магнитной поляризации материальной среды. Комментируя физическое содержание такого уравнения, обычно говорят, что оно наглядно иллюстрирует отсутствие в Природе сторонних магнитных зарядов, подобных зарядам электрическим, при этом, входя в противоречие, безосновательно называют  теоремой Гаусса магнитного поля, хотя в рамках логики уравнений Максвелла базы для этой теоремы - магнитного закона Кулона принципиально не существует.

Наконец, частным дифференцированием по времени  уравнения (1d) получаем на основе  адекватное с учетом знака закону электромагнитной индукции Фарадея уравнение (1а), последнее в системе (1). Итак, изменяющееся во времени поле магнитной индукции порождает в данной точке пространства вихревое электрическое поле. Ввиду того, что в уравнении (1a) , то функция поля  является вихревой, и эту топологию способно уточнить, согласно вышесказанному о дивергенции, уже полученное нами ранее уравнение (1b) в виде . Как видим, дивергентные уравнения (1b) и (1d) как математически, так и физически весьма содержательны.

И это только то, что лежит на поверхности. А если взглянуть глубже, то уравнения  и  содержат сведения о полях электрического  и магнитного  векторных потенциалов, связанных с электрической -  и магнитной -  поляризациями. На сегодня установлено [3, 4], что векторные потенциалы – полноправные физически значимые поля, и учет этого обстоятельства позволяет углубить и кардинально модернизировать концептуальные основы классической электродинамики, где обсуждаемая здесь система уравнений Максвелла будет лишь рядовым частным следствием.

Однако вернемся к уравнениям системы (1). Убедимся, что данная система замкнута и может быть представлена в виде математической задачи Коши - решение уравнений с заданными начальными условиями. Для этого, прежде всего, надо показать, что уравнение (1d) является следствием уравнения (1а), а уравнение (1b) есть следствие уравнения (1c). Вообще говоря, все это уже установлено в наших рассуждениях при построении уравнений системы (1), и все же проделаем обратное в явном виде. Итак, возьмем дивергенцию от (1а):

.

Поскольку уравнение (1d)  удовлетворяется при любых , то оно верно и для . Таким образом, уравнение (1d) действительно является начальным условием для уравнения (1а). Аналогичная процедура с уравнением (1c) и сравнение этого результата с уравнением непрерывности (3) дает цепочку:

.

А так как уравнение (1b)  справедливо при любых , то оно верно и для . Следовательно, уравнение (1b) - это начальное условие для уравнения (1c).

В итоге с учетом уравнения непрерывности (3) система (1) действительно замкнута – 16 скалярных уравнений: (1a), (1c), (3) - 7 и материальные соотношения - 9 для нахождения 16 скалярных функций: компонент векторов , , , ,  и плотности заряда .

Важнейшим фундаментальным следствием уравнений Максвелла является тот факт, что  и  компоненты электромагнитного поля распространяются в пространстве в виде волн. Например, из (1а) и (1c) сравнительно просто получить волновое уравнение для поля электрической напряженности :

. (4)

Аналогично получается и уравнение волн поля магнитной напряженности , структурно полностью тождественное уравнению (4). Видно, что скорость распространения этих волн определяется только лишь электрическими и магнитными параметрами пространства материальной среды: ,  и , в частности, в отсутствие поглощения ( ) скорость волн .

С целью ответа на вопрос, что переносят эти волны, воспользуемся уравнениями Максвелла (1), являющиеся, в сущности, первичными уравнениями электромагнитной волны, откуда на основе уравнений (1а) и (1с) получаем закон сохранения энергии в форме, так называемой теоремы Пойнтинга:

. (5)

Видно, что поступающий извне в данную точку среды поток электромагнитной энергии, определяемый вектором Пойнтинга , идет на компенсацию джоулевых (тепловых) потерь в процессе электропроводности и изменение электрической и магнитной энергий, либо наоборот - эти физические процессы вызывают излучение наружу потока электромагнитной энергии. Например, уравнение энергетического баланса (5) показывает, что излучение вовне потока энергии  возникает при джоулевых потерях  за счет работы источника ЭДС, в котором  и  - антипараллельны. Соответственно, при  производные от слагаемых других энергий меньше нуля.

Существенно, что вектор плотности потока электромагнитной энергии , отличен от нуля только там, где одновременно присутствуют электрическая и магнитная компоненты поля, векторы  и  которых неколлинеарны. Соответственно, как видно из уравнений (1а) и (1с), переносящая энергию электромагнитная волна принципиально состоит из двух векторных взаимно ортогональных  и  компонент. При этом несложно убедиться [1], что уравнения Максвелла (1) описывают электромагнитную волну, колебания  и  компонент которой синфазны между собой. Но такие колебания этих двух компонент в принципе не отвечают механизму переноса энергии посредством волн произвольной физической природы, когда в данной точке пространства происходит взаимное преобразование во времени потенциальной (в нашем случае электрической) энергии в кинетическую (магнитную) энергию, и наоборот.

Упрощенно, ради наглядности этот процесс можно пояснить на примере колебаний физического маятника, когда такой вид движения реализуется при сдвиге фазы колебаний смещения и скорости маятника на , то есть благодаря обмену кинетической и потенциальной энергиями, где полная энергия незатухающих колебаний неизменна во времени. Следовательно, и в случае волны перенос энергии возможен только при сдвиге фазы колебаний между ее компонентами на , причем в среде без потерь поток энергии не зависит от времени и точек пространства. Однако, согласно уравнениям Максвелла, электромагнитных волн с такими характеристиками в Природе не существуют.

Правда, традиционная логика обсуждения переноса электромагнитной энергии такова, что проблемы здесь как бы и нет - всем все понятно. Действительно, из решения уравнений (1) для волновых амплитуд  формально, но абсолютно строго следует  - закон сохранения энергии. В итоге однозначно доказано, что электрическая энергия в точности равна энергии магнитной, переносимых волнами соответствующих компонент электромагнитного поля. Именно так этот вопрос излагается учащимся, причем правомерность такой методики аргументируется тем, что перенос энергии электромагнитными волнами реален, и это физическое явление широко и всесторонне используется во многих областях жизни современного общества. Однако это не ответ на вопрос: как же все-таки эти энергии переносятся?

В качестве конструктивного замечания отметим, что хотя  и  компоненты электромагнитных волн распространяются только совместно и их энергии равны, но при этом связи этих энергий между собой нет (синфазность колебаний). Более того, в случае электро- и магнитостатики эти энергии независимы в принципе. Следовательно, необходимо приходим к выводу об объективности раздельного существования электрической и магнитной энергий, при отсутствии каких-либо физических оснований считать, что электромагнитная волна распространяется так же, как и все другие волны, посредством взаимной перекачки энергии одного вида в другой. Но тогда становится совершенно неясным, казалось бы, очевидное для каждого понятие электромагнитной энергии, а также каков реальный механизм волнового переноса этого вида энергии?

Таким образом, проблема с выяснением физического механизма переноса энергии волнами электромагнитного поля объективно существует, она актуальна и для ее разрешения требуется далеко нестандартный подход. Информация: в настоящее время данная проблема активно, а главное успешно исследуется и находится в заключительной стадии разрешения (например, [3]).

Резюме. Показано, как на основе первичных соотношений электромагнетизма - закона Кулона взаимодействия неподвижных электрических точечных зарядов и закона сохранения электрического заряда цепочкой последовательных физико-математических рассуждений можно построить систему дифференциальных уравнений Максвелла классической электродинамики.

Материал этого сообщения может быть полезен студентам при самообразовании, а преподавателям для занятий по курсам общей физики, классической электродинамики и сопутствующим им техническим дисциплинам.

Список литературы

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. М.: Наука, 1977.

2. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I и II. М.: Наука, 1989.

3. Сидоренков В.В. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2006. № 1. С. 28-37; // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 11. С. 75-82; // Материалы X Международной конференции «Физика в системе современного образования». - Санкт-Петербург: РГПУ, 2009. Том 1. Секция 1. “Профессиональное физическое образование”. С. 114-117; // Материалы VI Международного семинара «Физико-математическое моделирование систем» - Воронеж: ВГТУ, 2009. Часть 1. С. 172-177; // Необратимые процессы в природе и технике: Сборник научных трудов. Вып. 3. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 56-83;

// http://scipeople.ru/publication/67585.