Основные сведения по математической статистике.

В математической статистике изучают совокупность (множество) явлении пли предметов, объединенных единым признаком или свойством.

В машиностроительной практике такими признаками могут быть механические, электрические в другие свойства, линейные и угловые размеры, отклонения в форме и расположений элементов деталей и т.д. Валы электродвигателей, например, могут быть объединены в совокупность по качественным или количественным признакам.

В тех случаях, когда мы имеем дело с количественным признаком, мы будем называть его статистической переменной или случайной величиной  (х). Например, к случайным величинам будут относиться длина вала, диаметр и биение шеек вала, чистота поверхности и другие.

Для каждого члена совокупности, состоящей из конечного числа членов, может быть при помощи наблюдения (измерения и т.д.) определено соответствующее значение случайной величины, которая называется наблюденным значением случайной величины (х).

Число одинаковых или близких наблюденных значений (х), соединенных в одну группу (разряд), называется частотой (n_i). Частота, выраженная в долях или процентах от общего количества объектов изучаемой совокупности, называется частностью (-/-, %).

Если известна частота или частность для наблюденных значений, то это значит, что известно эмпирическое (опытное) распределение случайней переменной. Эмпирическое распределение может быть использовано для нахождения закономерностей рассеяния случайной величины, называемых законами распределения случайной величины.

В практике любая эмпирическая совокупность всегда подчиняется одному из законов распределения случайной величины, позволяющих более полно оценить и представить характер распределения.

В приложении I приведены наиболее часто встречающиеся законы распределения и случаи их применения.

На практике встречаются совокупности, составленные из большого количества членов. В этих случаях прибегают к выборочному обследованию. Выборкой называется часть единиц, отобранных из массы или партии для получения сведений о всей массе или партии продукции. Партия или масса продукции, из которой извлечена выборка, называется генеральной или общей совокупностью.

В машиностроении при использовании математической статистики пользуются не самими законами распределения и эмпирическими совокупностями, а подсчитанными по ним числовыми характеристиками распределения случайной величины. Числовые характеристики, подсчитанные по эмпирическому распределению, называются статистическими характеристиками, а характеристики, определяемые по теоретическим законам распределения - параметрами распределения.

Статистические характеристики позволяют решать многие практические задачи, например, определять точность технологических процессов.

К основным статистическим характеристикам относятся меры положения (среднее арифметическое , медиана ), характеризующие уровень настройки технологического процесса, т.е. центр группирования случайной величины меры рассеяния ( СКО σ, размах R), характеризующие плотность распределения случайных величин, т.е. разброс их относительной меры положения  или .

Среднее арифметическое ( ) определяется по формуле:

;

Где х _i – наблюденное значение случайной величины;

  n_i – частота случайной величины;

  N – число всех наблюденных значений.

Если случайная величина выражается многозначными числами, то для упрощения вычислений пользуются формулой:

,

Где α₀-любое число, при котором разность (х _i – α₀) была бы более простым и малым числом.

В предлагаемой методике среднее арифметическое вычисляется с помощью моментов распределения.

Медианой ( ) называют срединное значение, ряда наблюденных значений, расположенного по возрастанию или убыванию величин. При нечетном значении числа членов в ряду (n=2 k+1) медиана равна:

= X_k+1

А при четном (n=2 k) медиана равна

=( X_k+ X_k+1)/2

В практике предпочитают медиану ( ) перед средним арифметическим ( ) так как на ( ) значительное влияние оказывает одно - два значений случайной величины, резко выделяющихся из общего ряда. Кроме того, при « n» нечетном для определения ( ) не требуется производить математических действий. За  принимается каждое второе (при n=3) и каждое третье ( при n=5),четвертое (при n=7) и т.д. значение случайной величины упорядоченного ряда.

Среднее квадратическое отклонение (σ) вычисляется по формуле:

;

В предлагаемой методике среднее квадратическое отклонение определяется с помощью моментов распределения.

Размах (R) определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины в совокупности:

R = x_max - x_min

Для любого распределения случайной величины можно указать интервал, в котором находятся все значения случайных величин. Этот интервал называется полем рассеяния (S_n) случайной величины, который вычисляется по формуле:

S_n= kG

где k - коэффициент, зависящий от закона распределения случайной величины.

При нормальном законе распределения полное поле рассеяния принимает интервал, в котором находится 99,73% всех наблюденных значений, что вполне отвечает требованиям, предъявляемым к качеству продукции в промышленности. В приложении I приведены значения для каждого закона распределения.