б) Метод узловых напряжений

Заданная схема содержит 4 узла (q=4), и, согласно методу узловых напряжений, для ее расчета необходимо составить систему из q-1=4-1=3 уравнений относительно узловых напряжений, показанных штриховыми стрелками на Рис.3:

Рис. 3. Схема при расчете методом узловых напряжений

    Составим саму систему:

.

    Однако в рассматриваемой схеме одна из ветвей содержит только идеальный источник Э.Д.С. Поэтому, если в качестве опорного выбрать один из узлов этой Е-ветви, то узловое напряжение другого узла Е-ветви будет, очевидно, заранее известно, что приведет к сокращению числа неизвестных узловых напряжений на единицу. При выбранной нумерации узлов известным является напряжение

,

причем третье уравнение вырождается в неопределенность вида бесконечность=бесконечность. Устранив его и перенеся в оставшихся втором и первом уравнениях слагаемые, содержащие , направо, получаем сокращенную систему узловых уравнений относительно неизвестных узловых напряжений , :

    Теперь найдем собственные проводимости узлов (сумма всех проводимостей ветвей, входящих в этот узел):

    Затем находим общие проводимости узлов (эта величина равна взятой со знаком минус общей проводимости между 2-мя узлами):

    Далее определяем узловые токи:

    После подстановки всех этих значений сокращенная система уравнений принимает такой вид, который можно представить в виде матрицы:

 

    Решив ее, находим узловые напряжения:

Напряжение  от р-того узла к q-му узлу цепи можно определить по формуле , что позволяет легко найти ток любой ветви схемы.

    Таким образом,

Узел 1 (по 1 закону Кирхгофа):

=0             

    Сравниваем, полученные результаты с результатами, полученными методом контурных токов, и убеждаемся, что все токи совпадают.

Часть 2.

    Задание. Рассчитать переходный процесс в цепи, содержащей две воздушные линии без потерь длиной 100 и 50 км, соединенных согласно схеме Рис.4, включенное под постоянное напряжение  со стороны зажимов 1-1. Выходные зажимы замкнуты 2-2’ замкнуты на нагрузке. Обе линии характеризуются волновыми сопротивлениями . Найти распределение токов и напряжений в момент времени, когда отраженные волны пройдут половину длины линии. Скорость распространения волн в линиях одинакова и равна .

Рис. 4. Схема исследования

    Дано: ; ; ; С=1 мкФ; L=0,1 Гн; R1=400 Ом; R2=200 Oм

1) х1- координаты точек, отсчитываемы от начала первой линии,

2) х1’- координаты точек первой линии, отсчитываемые влево от стыка,

3) х2- координаты точек второй линии, отсчитываемые вправо от стыка,

4) х2’- координаты точек второй линии, отсчитываемые от нагрузки.

5) Решение представим отдельными этапами, разбив его на несколько частей, в соответствии с требованиями условия задачи.

 

    Этап 1. Расчет переходных процессов на стыке линий (до прихода волн, отраженных от конечных зажимов второй линии).

 Мы знаем, что линия без потерь, значит для падающих волн в любой точке первой линии (до которой они дошли) имеем:

Значит, и , то есть напряжение, поданное на зажимы 1-1 и образующее прямую волну без затуханий, приходит к зажимам .

    В любой точке первой линии напряжение и ток можно представить в виде суммы падающей и отраженной волн: распределение напряжений и тока в произвольный момент времени. В том числе и на стыке (т. е. при х1= :

где , - напряжение и ток в конце первой линии. Из этих уравнений вытекает соотношение . На выходе 2х2-полюсника , где -напряжение и ток в начале второй линии. Уравнениям (1) и (2) формально удовлетворяет схемная модель с сосредоточенными параметрами, изображенная на Рис.5.

 

Рис. 5. Схема для расчета переходного процесса на стыке линий

 

 Эта расчетная модель справедлива для определения закона изменения напряжения и токов в функции времени только в месте стыка линий, т.е. на зажимах 2х2-полюсника. Входящее в нее сопротивление  учитывает влияние второй линии до момента прихода отраженной от нагрузки волны, т.е. пока  и . Особенность расчетной схемы состоит в том, что напряжение на ее входе равно .

 

При этом  учитывает влияние первой линии, а  влияние второй линии вплоть до прихода к месту стыка отраженной волны. Поскольку мы рассматриваем линию без потерь, то прямая волна приходит к зажимам  без затухания. И т.к. это схема с одним реактивным элементом, то можем сразу написать ток переходного процесса в этой линии.

 – время, за которое волна дошла до стыков .

Обозначим время начала переходного процесса как  (начало переходного процесса всегда нулевой момент времени)

Без решения уравнения найдем ток в этой схеме при включенной под постоянным напряжением схеме:

 

                                                                         Рис. 6 .

τ=

Рис.7. Схема для расчета эквивалентного сопротивления

    Общая формула для расчета без дифференциального уравнения:

.

,

    Так как , тогда                   

 А

    Волны в линиях придут к точке, отстоящей от места стыка на расстоянии  c запаздыванием во времени на интервал .

 А

 

Теперь найдем . В нашем случае напряжения, проходящие через ветви, содержащие  равны, а так как их сопротивления равны 400 Ом, токи на них тоже равны. Тогда из первого закона Кирхгофа:  ( - ток, проходящий через R).

, где - прямая волна, которая идет во вторую линию.

 А

 

    По известным токам найдем напряжения:

В

    Моменту замыкания ключа соответствует =0. Из ее анализа следует:

- ток и напряжение на входе 2х2-полюсника:

;

кВ

- ток и напряжение на выходе 2х2-полюсника:

;

 

Рис. 8. Графики токов на стык                       Рис. 9. Графики напряжений на стыке

    Следующий шаг- прямое построение распределения напряжений и токов вдоль линий в момент времени (без определения отраженной волны). В каждой точке линии переходные процессы будут в точности повторять процессы на стыке с запаздыванием на время прохождения до нее соответствующей волны от стыка.

 

    Распределение отраженных волн в первой линии:

А

кВ

 

    Графики распределения напряжения и тока в первой линии построены по формулам:

 

Распределение преломленных волн во второй линии:

А

кВ

 

             Так как мы строим графики без определения отраженной волны:

 

 

              На Рис.10 и Рис.11 представлены графики распределений напряжений и токов вдоль линий в момент времени .

    При этом, можно заметить, что пространственные кривые ,  в пределах от 0 до  подобны временным зависимостям ,  , а пространственные кривые  – зеркально отраженным временным зависимостям ,  в тех же пределах. Зеркально потому, что направление - оси противоположно направлению - оси.

 

Рис. 10. Распределение напряжений вдоль линий (без определения отраженной волны)

 

Рис. 11. Распределение токов вдоль линий (без определения отраженной волны)

Этап 2. Расчет переходных процессов в нагрузке второй линии.      

 

   Переходный процесс в нагрузке начинается позже, чем в месте стыка, на время пробега падающей волной всей второй линии, равного .

    Для расчета переходного процесса мы должны рассмотреть схему, представленную на Рис.12.

Рис. 12. Схема для расчета переходных процессов в нагрузке второй линии

, - распределение напряжение и тока во второй линии в произвольный момент времени.

, - напряжение и ток в конце второй линии у нагрузки.

 

    Пусть t’’=0 – время начала переходного процесса, когда прямая волна  дошла до конца второй линии. Теперь входное напряжение является функцией времени, поэтому проведем расчет этого процесса операторным методом:

кВ

 

    Находим операторное напряжение:

Z(p)=

 

    Теперь находим оригинал с помощью теоремы разложения:

Теорема разложения. Пусть имеется изображение в виде , где G ( p ), H ( p )- полиномы от р. При предположении, что уравнение H ( p )=0 не имеет кратных корней, а также не имеет корней, равным корням уравнения G ( p )=0. При указанных условиях рациональную дробь можно разложить на простейшие дроби и получить, что . Так как    , то для искомой величины имеем .

)

Находим корни уравнения H ( p )=0:

    Все найденные данные подставляем в формулу и получаем:

А, при этом

    Следующим этапом найдем формулы распределения отраженных волн вдоль второй линии в фиксированный момент :

, помня, что нам известна  А

=

А

Отсюда кВ

           Проверка. Выражения для отраженных волн можно получить с использованием коэффициента отражения волны напряжения во второй линии в операторной форме.

где - операторное сопротивление нагрузки.

кВ

    Найдем оригинал с помощью теоремы разложения:

    Все найденные данные подставляем в формулу и получаем:

кВ

=

А

    Построение графиков.

    Построим графики в момент времени , когда отраженная от нагрузки волна достигнет половины длины второй линии.

=( - максимальное значение расстояния, которое прошла от нагрузки волна.

    Расчетные значения напряжений и токов в различных точках линий, полученные путем суммирования соответствующих значений падающих и отраженных волн, сведены в Таблице 1. Графики распределения этих величин вдоль линий изображены на Рис.13 и Рис.14

Таблица 1

Рис. 13. Графики распределения напряжений вдоль линии

Рис. 14. Графики распределения токов вдоль линии

Заключение

    Мы теоретически рассмотрели различные методы расчета электрических цепей: метод контурных токов, метод узловых напряжений, проверили полученные результаты условием выполнения баланса мощностей. Нашли напряжение между выделенными узлами по законам Кирхгофа по двум различным ветвям.

    В следующей задаче мы провели расчет переходного процесса в системе длинных линий с помощью метода расчета переходного процесса без составления дифференциального уравнения, операторный метод расчета, а также сделали проверку через коэффициент отражения. Затем мы получили графики распределения токов и напряжений вдоль линии.