Энергия электростатического поля проводников

Вычислим полную энергию U электростатического поля заряженных проводников:

 

,

 

где интеграл берется по всему объему пространства вне проводников. Преобразуем этот интеграл и получим выражение:

 

,

 

аналогичное выражению для энергии системы точечных зарядов.

Заряды и потенциалы проводников не могут быть заданы одновременно произвольным образом; между ними существует определенная связь. Она должна быть линейной, т.е. выражаться соотношениями вида

 

,

 

где величины C_aa, C_ab имеют размерность длины и зависят от формы и взаимного расположения проводников. Величины C_aa называют коэффициентами емкости, а величины C_ab  - коэффициентами электростатической индукции.

Обратные выражения для потенциалов через заряды:

 

,

 

где коэффициенты  составляет матрицу, обратную матрице коэффициентов .

Вычислим изменение энергии системы проводников при бесконечно малом изменении их зарядов или потенциалов:

 

.

 

Это выражение можно преобразовать далее двумя эквивалентными способами. Окончательно имеем:

 

,

 

т.е. получаем изменение энергии, выраженное через изменение зарядов.

С другой стороны:

 

,

 

т. е. изменение энергии выражено через изменение потенциалов проводников.

Эти формулы показывают, что, дифференцируя энергию U по величинам зарядов, мы получаем потенциалы проводников, а производные от U по потенциалам дают значения зарядов:

проводник электромагнитный поле выравнивание

.

 

С другой стороны, потенциалы и заряды являются линейными функциями друг друга. Имеем:

 

,

 

а изменив порядок дифференцирования. Мы получили бы . Отсюда видно, что

 

 

(и, аналогично, ). Энергия U может быть представлена в виде квадратичной формы потенциалов или зарядов:

 

.

 

Это квадратичная форма должна быть существенно положительной. Из этого условия возникают определенные неравенства, которым удовлетворяют коэффициенты . В частности, все коэффициенты емкости положительны:

 

 

(а также и ).

Напротив, все коэффициенты электростатической индукции отрицательны:

 

.

 

Проводящий эллипсоид

Задача об определении заряженного проводящего эллипсоида решается с помощью эллипсоидальных координат.

Связь эллипсоидальных координат с декартовыми дается уравнением

 

 

Это уравнение, кубическое относительно u, имеет три вещественных корня :

 

.

 

Эти три корня и являются эллипсоидальными координатами точки x, y, z. Их геометрический смысл явствует из того, что поверхности постоянных значений  представляют собой соответственно эллипсоиды, однополостные гиперболоиды и двухполюсные гиперболоиды, причем все они софокусны с эллипсоидом

 

.

Формулы преобразования от эллипсоидальных координат к декартовым получаются путем совместного решения трех уравнений и имеют вид

 

,

,

.

 

Элемент длины в эллипсоидальных координатах имеет вид

 

,

,

 

где

 

 

Соответственно, уравнение Лапласа в этих координатах есть

 

 

Тогда кубическое уравнение

 

 

вырождается в квадратное

 

 

с двумя корнями, пробегающими значения в интервалах

 

 

Координатные поверхности постоянных  и  превращаются соответственно в софокусные сплюснутые эллипсоиды вращения и однополостные гиперболоиды вращения (рис. 1). В качестве третьей координаты можно ввести полярный угол  в плоскости

 

.

 

Рис. 1

 

Связь координат  с координатами  дается равенствами

 

, .

 

Координаты  называются сплюснутыми сфероидальными координатами.

При a>b=с эллипсоидальные координаты вырождаются в так называемые вытянутые сфероидальные координаты. Две координаты  и  задаются корнями уравнения

 

 

причем . Поверхности постоянных  и представляют собой вытянутые эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды вращения (рис. 2).

Связь координат ,  с координатами  дается формулами

 

, .

 

Рис. 2

 

Поверхность

 

 

в эллипсоидальных координатах – это координатная поверхность =0. Если искать потенциал поля в виде функции только от , то будут эквипотенциальными все эллипсоидальные поверхности =const, в том числе поверхность проводника. Уравнение Лапласа сводится тогда к уравнению

 

 

откуда

 

.

 

Зная, что 2А=е, заключаем:

 

.

 

Откуда

 

.

 

Распределение плотности заряда по поверхности эллипсоида определяется нормальной производной потенциала

 

.

 

Легко убедиться в том, что при =0

 

.

 

Поэтому

 

.

 

Для двухосного эллипсоида интегралы

 

,

 

выражаются через элементарные функции. Для вытянутого эллипсоида (a>b=c) потенциал поля дается формулой

 

,

 

а его емкость

 

.

 

Для сплюснутого же эллипсоида (a=b>c) имеем

 

В частности, для круглого диска (a=b, с=0)

 

.