Определение и построение

Введение

В данной работе мы рассмотрим некоторые замечательные кривые и их особенности.

В параграфе 1 будет рассмотрена строфоида, особенности её формы, стереометрическое образование и исторические сведения.

Во 2-м параграфе мы изучим циссоиду Диокла и некоторые формулы, связанные с ней.

В параграфе 3 узнаем метод построения, особенности формы и исторические сведения о кривой, называемой «Декартов лист».

В 4-м параграфе рассмотрим улитку Паскаля. Её определение, построение, особенности формы, свойства нормали и построение касательной. плоский кривой лемниската бернули строфоида

В параграфе 5 будет изучена лемниската Бернулли: определение, построение, исторические сведения, особенности формы, свойства нормали и построение касательной.

А также при помощи задач узнаем формулы кривых в прямоугольной декартовой и полярной системах координат.

 

 

Строфоида

Определение.

Прямая строфоида, или просто строфоида, определяется так: берём взаимно-перпендикулярные прямые AB, CD (рис.1) и на одной из них точку A; через неё проводим произвольую прямую AL, пересекающую CD в точке P. На AL откладываем отрезки PM_1,, PM₂ равные PO (O – точка пересечения AB и CD). Строфоида (прямая) есть геометрическое место точек M₁,M₂.

Косая строфоида (рис.2) строится аналогично с той разницей, что AB и CD пересекаются косоугольно.

История вопроса

 

Строфоида была рассмотрена (вероятно, впервые) Ж. Робервалем в 1645 г. под именем птероиды. Нынешнее название введено Миди в 1849 г.

Стереометрическое образование

 

Представим себе цилиндрическую поверхность с осью CD (см. рис.1) и радиусом AO. Через точку A проведем перпендикулярную плоскости чертежа произвольную плоскость K (прямая AL – след этой плоскости). В сечении получим эллипс; его фокусы M₁, M₂ описывают прямую строфоиду.

Косая строфоида строится аналогично с той лишь разницей, что цилиндрическая поверхность заменяется конической: ось конуса (OS на рис.2) проходит через O перпендикулярно AB; прямая UV, проходящая через B параллельно CD, – одна из образующих. Точки M₁, M₂ – фокусы соответствующего конического сечения; косая строфоида расположена на обеих полостях конической поверхности и проходит через вершину S последней.

 

Особенности формы

 

Точка O – узловая; касательные к ветвям, проходящим через O, взаимно перпендикулярны (как для прямой, так и для косой строфоиды). Для косой строфоиды (рис.2) прямая UV служит асимптотой (при бесконечном удалении вниз). Кроме того, UV касается косой строфоиды в точке S, равноотстоящей от A и B.

У прямой строфоиды точка касания S «уходит в бесконечность» (при удалении вверх), так что прямая UV (см. рис.1) служит асимптотой для обеих ветвей.

Задача

 

Написать уравнение строфоиды в прямоугольной декартовой системе координат, осями которой являются прямые AB и CD, а направление оси OX определяется направлением оси строфоиды.

Решение:

Пусть O – начало координат; ось OX направлена по лучу OB; AO=a, AOD=α; когда строфоида – косая, система координат – косоугольная, ось OY направлена по лучу OD:

 (1)

 

Для прямой строфоиды уравнение (1) приводится к виду

 

 .

 

Циссоида Диокла

Определение и построение

 

На отрезке OA = 2a, как на диаметре, строим окружность C (рис.3) и проводим через A касательную UV. Через O проводим произвольную прямую OF, пересекающую UV в точке F; эта прямая пересечет (вторично) окружность C в точке E. На прямой OF от точки F по направлению к O откладываем отрезок FM, равный хорде OE.

 

 

Линия, описываемая точкой M при вращении OF около O, называется циссоидой Диокла – по имени греческого ученого 2 века до н.э., который ввел эту линию для графического решения задачи об удвоении куба.

Особенности формы. Циссоида симметрична относительно OA, проходит через точки B, D и имеет асимптоту UV (x = 2a); O – точка возврата (радиус кривизны RO = O).

Построение касательной. Чтобы построить касательную к циссоиде в ее точке M, проводим MP OM. Пусть Q, P – точки пересечения MP с прямыми OX, OY. От точки P на продолжении отрезка QP откладываем отрезок PK = PQ. Строим KN MO и ON QP. Точку N пересечения KN и ON соединяем с M. Прямая MN – нормаль к циссоиде. Искомая касательная MT перпендикулярна MN.

Исторические сведения

 

Диокл определял циссоиду с помощью другого построения. Он проводил диаметр BD, перпендикулярный OA; точка M получалась в пересечении хорды OE с прямой GG^̕  BD, проведенной через точку G, симметричную с E относительно BD. Поэтому линия Диокла располагалась целиком внутри круга C. Она состояла из дуг OB и OD. Если замкнуть линию BOD полуокружностью BAD, описанной точкой E, получается фигура, напоминающая лист плюща. Отсюда название «циссоида».

Примерно в 1640 г. Роберваль, а позднее Р. де Слюз заметили, что циссоида неограниченно продолжается и за пределы окружности, если точка E описывает и другую полуокружность BOD; тогда M лежит на продолжении хорды OE. Однако наименование «циссоида Слюза», предложенное Гюйгенсом, не утвердилось в литературе.

Площадь S полосы

заключенной между циссоидой и ее асимптотой (эта полоса простирается в бесконечность), конечна; она втрое больше площади производящего круга C:

 

.

Объем V тела вращения

 

вышеупомянутой полосы около асимптоты UV равен объему V̕ тела вращения круга C около той же оси (Слюз):

 

.

 

При вращении той же полосы около оси симметрии получается тело бесконечного объема.

Задача

 

Дана циссоида Диокла с полюсом в точке O, осью OA и параметром 2a. Приняв точку O за полюс, а ось кривой за ось полярной системы, вывести уравнение кривой в полярных координатах. Записать уравнение кривой в прямоугольной декартовой системе координат.

Решение:

Пусть O – начало координат, OX – ось абсцисс. Тогда уравнение в прямоугольной системе координат:

 

 .

 

Если O – полюс и OX – полярная ось, то уравнение в полярных координаты будет иметь вид:

 

 .

 

Декартов лист

Исторические сведения

 

В 1638 г. Р. Декарт, чтобы опровергнуть (неверно им понятое) правило П. Ферма для нахождения касательных, предложил Ферма найти касательную к линии . При обычном для нас толковании отрицательных координат эта линия, которую в 18 веке стали называть декартовым листом, состоит из петли OBAC (рис.4) и двух бесконечных ветвей (OI, OL).

Но в таком виде ее представил впервые Х. Гюйгенс (в 1692 г.). До этого линию  представляли в виде четырех лепестков (один из них OBAC), симметрично расположенных в четырех координатных углах. Поэтому ее называли «цветком жасмина».

Построение

 

Чтобы построить декартов лист с диаметром петли  проведем окружность A радиуса  и какую-либо прямую GH, параллельную AO. Далее проведем прямые AA^̕ и OE, перпендикулярные AO, и отметим точки A^̕, E их пересечения с GH. Наконец, отложим на луче OA отрезок OF = 3OA и проведем прямую FE. Теперь искомая линия строится по точкам следующим образом.

 

 

Через O проводим любую прямую ON и через точку N, где эта прямая пересекает (вторично) окружность, проводим NQ AA^̕. Точку Q, где NQ пересекает прямую OF соединяем с A^̕ и отмечаем точку K, где QA^̕ пересекает FE. Проводим прямую AK до пересечения с прямой GH в точке Q^̕. Наконец, откладываем на прямой OA отрезок OP, равный и равнонаправленный с отрезком A^̕Q^̕. Прямая M₁M₂, проведенная через P параллельно AA^̕, пересечет прямую ON в точке M₁. Эта точка (а также точка M₂, симметричная ей относительно AO), принадлежит искомой линии.

Когда точка N, исходя из O, описывает окружность A против часовой стрелки, точка M₁ описывает траекторию LOCABOI.

Особенности формы

 

Точка O – узловая. Касательные, проходящие через O, совпадают с осями координат. Прямая OA ( ) есть ось симметрии. Точка , наиболее удаленная от узловой точки, называется вершиной (коэффициент  выражает диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде OA петли, так что ). Прямая UV ( ) – асимптота обеих бесконечных ветвей.

Задача

 

Написать уравнение декартова листа в прямоугольной системе координат и, приняв точку O за полюс, в полярной системе координат.

Решение:

Уравнение в прямоугольной системе:

 

.

 

Уравнение в полярной системе (OX – полярная ось):

 

.

 

Улитка Паскаля