Формула Ньютона–Лейбница

Контрольная работа

По дисциплине:

«Высшая математика»

Тема:

«Длина дуги кривой в прямоугольных координатах»

Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу

Сформулируем следующее свойство определенных интегралов:

Пусть функция  непрерывна на . Составим для нее определенный интеграл . Пусть для определенности  на всем отрезке. Тогда с геометрической точки зрения составленный интеграл не что иное, как площадь криволинейной трапеции с основанием , которая ограничена линией .

Если в рассматриваемом интеграле заменить переменную интегрирования  на , то величина его, очевидно, не изменится. Поэтому в дальнейшем для удобства будем считать, что площадь трапеции определяется интегралом .

Величина определенного интеграла зависит от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования, то есть от длины основания криволинейной трапеции. Рассмотрим поэтому теперь случай, когда нижний предел интеграла фиксирован и равен , а верхний может меняться, принимая значения , где . В этом случае определенный интеграл будет соответствовать площади криволинейной трапеции, величина которой меняется. Зависеть эта площадь будет от значения , то есть . Если  будет меняться непрерывно, то и площадь трапеции будет меняться непрерывно, то есть  – непрерывная функция, которую можно дифференцировать.

Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой переменная интегрирования заменена этим верхним пределом, то есть  или .

Для вычисления производной проделаем все стандартные операции. Зададим приращение аргументу: , что, в свою очередь, приведет к приращению функции: . Так как , а , то приращение функции определяется выражением:

.

Применим к полученному выражению теорему о среднем в определенном интеграле:

, где .

Составим отношение . Чтобы получить производную , перейдем в составленном отношении к пределу: . Так как , то при стремлении  точка  будет стремиться к . Следовательно, вычисление предела приведет к выражению: .

Из доказанной теоремы следует, что  – это первообразная от , следовательно, определенный интеграл  также является первообразной от , и вычислять его, очевидно, необходимо с помощью тех же приемов, что и неопределенный интеграл.

Формула Ньютона–Лейбница

Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов.

Теорема. Если  какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула: .

В предыдущем пункте было показано, что  – это первообразная от функции . Но как было показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому, если  какая-то другая первообразная от той же функции , то .

Оказывается, что в случае определенного интеграла постоянную  можно вычислить. Действительно, так как  может принимать любые значения между  и  (п. 1), то пусть . Тогда: . Но определенный интеграл с равными пределами равен нулю, следовательно, . Значит,

.

Положим теперь, что , тогда

.

Полученное выражение называется формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:

.

Обычно в полученных выражениях переменная интегрирования обозначается буквой .

Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от  и вычислить разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формула позволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач, связанных с вычислением определенного интеграла.